2019-2020学年高中数学新人教A版必修1课件：第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点（24张）

课件24张PPT。第三章 函数的应用3.1　函数与方程3.1.1　方程的根与函数的零点1.理解函数零点的定义以及函数零点与方程根的关系,会求函数的零点.
2.掌握函数零点的判定方法.
3.会用函数零点的判定定理判断函数是否存在零点.1.函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的关系【做一做1】 已知二次函数y=x2-x-1,则使y=0成立的实数x有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
解析:判别式Δ=1+4=5>0,则方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根,即使y=0成立的实数x有2个.
答案:C2.函数的零点
(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.
(3)结论:方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
名师点拨并非所有的函数都有零点.例如,函数f(x)=x2+1,由于方程x2+1=0无实数根,故该函数无零点.A.(1,0) B.0 C.1 D.0和1 答案:C
【做一做2-2】 函数f(x)=x2+x-b2的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.无数
解析:∵关于x的一元二次方程x2+x-b2=0的根的判别式Δ=1+4b2>0,∴函数f(x)=x2+x-b2有2个零点.
答案:C3.函数零点的判定定理
名师点拨判断函数y=f(x)是否存在零点的方法:
(1)方程法:判断方程f(x)=0是否有实数解.
(2)图象法:判断函数y=f(x)的图象与x轴是否有交点.
(3)定理法:利用零点的判定定理来判断.【做一做3-1】 已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表:
则函数f(x)在区间[3,8]内的零点至少有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析:根据零点的判定定理可知,函数f(x)在区间(4,5),(6,7)内至少各存在一个零点,故函数f(x)在区间[3,8]内至少有2个零点.
答案:A【做一做3-2】 若f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内,则b的取值范围为　　　　　.?
解析:∵f(x)=x+b是增函数,又f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内,∴-1答案:(-1,0)1.对零点判定定理的理解
剖析:(1)当函数y=f(x)同时满足:①函数的图象在闭区间[a,b]上是连续曲线;②f(a)·f(b)<0,则可以判断函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,但是不能明确说明有几个零点.
(2)当函数y=f(x)的图象在闭区间[a,b]上不是连续曲线,或不满足f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在区间[a,b]上可能存在零点,也可能不存在零点.
例如:二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[3,4]上有f(3)=0,f(4)>0,所以f(3)·f(4)=0,但x=3是函数f(x)的一个零点.
函数f(x)=x2在区间[-1,1]上有f(-1)·f(1)=1>0,但是它存在零点0.2.函数的零点不是点
剖析:我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点,因此函数的零点不是点,是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实根,方程f(x)=0有几个实根,函数f(x)就有几个零点.例如,函数f(x)=x+1,当f(x)=x+1=0成立时,x=-1,所以函数f(x)=x+1有一个零点-1,由此可见,函数f(x)=x+1的零点是一个实数,而不是一个点.题型一题型二题型三题型四求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点.如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点. 题型一题型二题型三题型四(3)存在零点令4x-16=0,则4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为x=2.题型一题型二题型三题型四反思1.求函数f(x)的零点时,可考虑解方程f(x)=0,方程f(x)=0无实数根,则函数f(x)无零点,方程f(x)=0有实数根,则方程的实数根是函数f(x)的零点.
2.本例(4)容易错写成函数的零点是x=-6和x=2,其原因是没有验根.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 已知函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和-2,则函数g(x)=bx-a的零点为　　　　.?
解析:由已知得-1和-2是方程x2+ax+b=0的根,
∴a=3,b=2,∴g(x)=2x-3.
令g(x)=2x-3=0,解得x=log23,
故函数g(x)的零点为log23.
答案:log23题型一题型二题型三题型四判断函数零点的个数题型一题型二题型三题型四反思当无法解方程f(x)=0时,常用图象法判断函数f(x)的零点个数.
对于函数f(x),如果能化为f(x)=g(x)-h(x)的形式,其中函数g(x)和h(x)的图象能够画出来,那么在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图象,它们图象交点的个数就是函数f(x)的零点的个数.题型一题型二题型三题型四A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C 题型一题型二题型三题型四判断函数零点所在的大致区间
【例3】 方程log3x+x=3的解所在的区间为(　　)
A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:构造函数,转化为确定函数的零点所在的区间.
令f(x)=log3x+x-3,答案:C
反思判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题,当无法解方程f(x)=0时,常用函数零点的判定定理来解决.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 根据表格中的数据,可以断定方程ex-2x-5=0的一个根所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:设f(x)=ex-2x-5,此函数的图象是连续不断的,由表可知f(0)=1-5=-4<0,f(1)=2.72-7=-4.28<0,f(2)=7.39-9=-1.61<0, f(3)=20.09-11=9.09>0,f(4)=54.60-13=41.60>0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)的一个零点,即方程ex-2x-5=0的一个根所在的区间是(2,3).
答案:C题型一题型二题型三题型四易混易错题
易错点　对函数零点的判定定理理解不透彻
【例4】 已知函数y=f(x)的图象在闭区间[a,b]上为一条连续的曲线,且f(a)·f(b)>0,则函数f(x)在(a,b)内(　　)
A.肯定没有零点 B.至多有一个零点
C.可能有两个零点 D.以上说法均不正确
错解根据函数零点的判定定理可知,选A.
错因分析:当函数的图象在闭区间[a,b]上为一条连续的曲线,且当f(a)·f(b)<0时,函数在(a,b)内至少存在一个零点.但是,若不满足上述条件中的任何一个,则函数未必不存在零点.
正解:不妨设y=f(x)=x2-1,区间[a,b]为[-2,2],则f(-2)·f(2)>0,但是y=f(x)在区间(-2,2)内存在两个零点-1,1,则可以排除选项A,B,D,故选C.题型一题型二题型三题型四A.0 B.1 C.2 D.3
解析:函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
当x>0时,f(x)>0,f(x)=0无实根;
当x<0时,f(x)<0,f(x)=0无实根.
综上,函数f(x)没有零点.
答案:A