2019-2020学年高中数学新人教A版必修1课件：第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解（16张）

课件16张PPT。3.1.2　用二分法求方程的近似解1.了解二分法是求方程近似解的一种方法,能够借助于计算器用二分法求方程的近似解.
2.理解二分法的步骤与思想.1.二分法的概念
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
名师点拨二分法就是通过不断地将所选区间(a,b)一分为二,逐步地逼近零点的方法,即找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点.2.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c):
若f(c)=0,则c就是函数f(x)的零点;
若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复(2)~(4).【做一做1】 下列说法正确的是(　　)
A.二分法所求出的方程的解都是近似解
B.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点
C.用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内
D.若f(a)f(b)<0,且|a-b|<ε(ε为精确度),则区间(a,b)内的任意实数都可作函数零点的近似值
答案:D3.二分法的应用
由函数的零点与相应方程根的关系,可以用二分法来求方程的近似解.
【做一做2】 已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在的区间为(　　)
A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定
解析:由于f(1.25)·f(1.5)<0,则方程的解所在的区间为(1.25,1.5).
答案:A用二分法求方程的近似解需注意的问题
剖析:(1)看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤的结束.
(2)初始区间的选定要尽可能小,不同的初始区间结果是相同的,但等分区间的次数却相差较大.
(3)在二分法的第四步,由|a-b|<ε,便可判断零点的近似值为a或b,即只需进行有限次运算即可.
(4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值,并不是所有函数都可以用二分法求零点的近似值;也就是说,并不是所有的方程都可以用二分法求近似解.题型一题型二题型三解析:利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号.在选项B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点;由于选项A,C,D中零点两侧的函数值异号,故可采用二分法求零点.
答案:B二分法的概念
【例1】 下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)题型一题型二题型三【变式训练1】 下列函数中,必须用二分法求其零点的是 (　　)解析:A项中,解方程x+7=0,得x=-7,因此函数y=x+7可以不用二分法求零点;B项中,解方程5x-1=0,得x=0,因此函数y=5x-1可以不用二分法求零点;C项中,解方程log3x=0,得x=1,因此函数y=log3x可以不答案:D 题型一题型二题型三求方程的近似解
【例2】 求方程lg x=2-x的近似解.(精确度0.1)
分析:在同一坐标系中,画出y=lg x和y=2-x的图象,确定方程的解所在的大致区间,再用二分法求解.题型一题型二题型三解:在同一坐标系中,作出y=lg x,y=2-x的图象如图所示,可以发现方程lg x=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.
设f(x)=lg x+x-2,
则f(x)的零点为x0.
用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0?x0∈(1,2);
f(1.5)<0,f(2)>0?x0∈(1.5,2);
f(1.75)<0,f(2)>0?x0∈(1.75,2);
f(1.75)<0,f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875);
f(1.75)<0,f(1.812 5)>0?x0∈(1.75,1.812 5).
∵|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,
∴方程的近似解可取为1.812 5.题型一题型二题型三反思利用二分法求方程的近似解的步骤:(1)构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常取区间(n,n+1),n∈Z;(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M;(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.题型一题型二题型三【变式训练2】 根据下表,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)内的零点的近似值是　　　　　.(精确度0.1)?解析:首先根据零点在(1,2)区间内,再判断零点在(1.5,2)上,最终判断零点在(1.5,1.562 5)内.
答案:1.5或1.562 5题型一题型二题型三实际应用题
【例3】 某市A地到B地的电话线路发生故障,这是一条10 km 长的线路,每隔50 m有一根电线杆,如何迅速查出故障所在?
分析:对每一段线路一一检查很麻烦,当然也是不必要的,可以利用二分法的思想设计方案.
解:如图,可从中点C开始查起,用随身携带的工具检查,若发现AC段正常,则断定故障在BC段;
再到BC段的中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;
再到BD段的中点E检查,如此,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,经过7次查找,即可将故障范围缩小到50~100 m之间,即可迅速找到故障所在.题型一题型二题型三反思本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用,通过取区间(线路)的中点,依次使区间(线路)的长度减半,就逐步逼近了函数的零点(线路故障处),从而使问题得到解决.题型一题型二题型三【变式训练3】 物理课上老师拿出长为1 m的一根电线,此电线中有一处折断无法通电(表面看不出来),如何迅速查出故障存在?要把折断处的范围缩小到3~4 cm,要查多少次?
解:运用二分法的原理进行查找,经过5次查找就可将折断处的范围缩小到3~4 cm.