2019-2020学年高中数学新人教A版必修1课件：第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值（第2课时）函数的最大（小）值（24张）

课件24张PPT。第2课时　函数的最大(小)值1.理解函数最大值和最小值的概念,明确定义中“任意”和“存在”表达的含义.
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.1.最大值和最小值 知识拓展1.定义中的M是一个函数值,它是值域的一个元素,如函数f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0.
2.最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方.
3.最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.【做一做1】 设函数f(x)=2x-1(0≤x<1),则f(x)(　　)
A.有最大值,无最小值
B.有最小值,无最大值
C.既有最大值,又有最小值
D.既无最大值,也无最小值
解析:∵函数f(x)=2x-1在x∈[0,1)上单调递增,
∴f(x)在x=0时取得最小值,无最大值.
答案:B2.最值 归纳总结二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在定义域R上,当a>0时,【做一做2】 函数y=-x2+2x的最大值是　　　.?
答案:1函数的最值与单调性的关系
剖析(1)函数的单调性是其定义域的子集上的性质,是“局部”性质,而函数的最值是整个定义域上的性质,是“整体”性质.
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.题型一题型二题型三题型四图象法求最值
【例1】 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值,并写出值域.
分析:讨论x与1的大小,化函数f(x)为分段函数.图象如图所示,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,
没有最小值,
所以其值域为(-∞,2].
反思图象法求函数y=f(x)的最值的步骤:
(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.题型五题型一题型二题型三题型四(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象找出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.题型五题型一题型二题型三题型四利用函数的单调性求最值(1)判断f(x)在区间[1,2]和[2,3]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.
分析:(1)证明单调性的流程为:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.题型五题型一题型二题型三题型四解:(1)设x1,x2是区间[1,3]上的任意两个实数,且x1当2≤x1反思利用函数的单调性求函数最值的步骤:
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)借助最值与单调性的关系写出最值.题型五题型一题型二题型三题型四解:任取2≤x1∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0.
∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)【例3】 已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.
分析:抛物线开口方向确定,对称轴不确定,需根据对称轴的不同情况分类讨论.可画出二次函数相关部分的简图,用数形结合法解决问题.题型一题型二题型三题型四题型五解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.
当a≥1时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,最小值为f(1)=3-2a;
当-1当a≤-1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最小值为f(-1)=3+2a.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.题型一题型二题型三题型四题型五2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:题型一题型二题型三题型四题型五【延伸探究】 在本例条件下,求函数f(x)的最大值.
解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.题型一题型二题型三题型四题型五当a≥1时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,最大值为f(-1)=3+2a;
当0≤a<1时,函数图象如图(2)所示,可知函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3+2a;
当-1当a≤-1时,函数图象如图(4)所示,可知函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最大值为f(1)=3-2a.题型一题型二题型三题型四题型五应用问题
【例4】 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个.已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,则售价应为多少元?最大利润是多少?
分析:设出售价及利润,建立利润与售价的函数解析式,具体如下:题型一题型二题型三题型四题型五解:设售价为x元,利润为y元,
则单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个.
y=(x-40)[500-10(x-50)]=-10(x-70)2+9 000,
当x=70时,ymax=9 000,
即售价为70元时,利润最大为9 000元.
反思解应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,建立数学模型,列出函数解析式,分析函数的性质,从而解决问题,这里要注意自变量的取值范围.在实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决.题型一题型二题型三题型四题型五易错易混题
易错点　求最值时忽视单调性致错
【例5】 若函数f(x)=x2-6x+m在区间[2,+∞)内的最小值是-3,则实数m的值为　　　　　.?
错解∵f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,
∴f(x)的最小值为f(2)=4-12+m=m-8,
∴m-8=-3,∴m=5.
错因分析:在求函数最值时,只有判断出函数的单调性,才能确定函数最值在何处取得,不能直接代入区间的端点来求.如本例函数在区间[2,+∞)内先减后增,故最小值不在x=2处取得.题型一题型二题型三题型四题型五正解:函数f(x)=x2-6x+m图象的对称轴是x=3,开口向上,所以函数f(x)在区间[2,3]上单调递减,在区间[3,+∞)内单调递增,故函数在x=3处取得最小值.
由f(3)=32-6×3+m=-3,解得m=6.
故实数m的值为6.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】 已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为　　　　　.?
解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],
且函数有最小值-2.
故当x=0时,函数有最小值f(0)=a=-2;
当x=1时,函数有最大值f(1)=-1+4+a=1.
答案:1