高中数学必修5人教版：2.5等比数列的前项和教案

2.5等比数列的前项和
教学目标
掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；
会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
教学重点
等比数列的前n项和公式推导
教学难点
灵活应用公式解决有关问题
教学过程
[提出问题]课本“国王对国际象棋的发明者的奖励”
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得

∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
[解决问题]有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由可得
==。
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
等比数列的前n项和公式：
当时，① 或 ② 当q=1时，
思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？
（当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.）
[例题讲解]
例1：求下列等比数列前8项的和．
（1）， ，，… （2）
解：由a1=，得
例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中
a1=5000, 于是得到
整理得两边取对数,得 用计算器算得(年).
答:约5年内可以使总销售量达到30000台.
例3．求和．
解：由式子特点，两边同乘，然后相减即得一等比数列的求和问题，但应注意公比的讨论．
⑴当时，．
⑵ 当时，，
．
．
．
Ⅲ.课堂练习
课本P58的练习1、2、3
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：
当q=1时，；当时， 或.
(七) 课堂小结
Ⅴ.课后作业
课本P61习题A组的第1、2题