高中数学必修5人教版：3.3.2　简单线性规划问题第1课时教案

3.3.2　简单线性规划问题
教学目标
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;?
2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
教学过程
第1课时?
导入新课
师 前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.?
（生回答）
推进新课
［合作探究］?
师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.?
例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？?
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？?
生 由已知条件可得二元一次不等式组：
师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？?
生 （板演）?
师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？?
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？?
生 则z=2x+3y.?
师 这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？?
［教师精讲］?
师 把z=2x+3y变形为,这是斜率为，在y轴上的截距为z的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.?
生 当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）?
师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线，这说明，截距z3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距最大时，z取最大值，因此，问题转化为当直线与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线经过P时截距最大.?
由图可以看出，当直线经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.?
［知识拓展］?
再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l0:2x+y=0.?
然后，作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.?
若设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件求t的最大值和最小值.?
分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.?
作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.?
(1)
从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.?
可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.?
而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.?
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以tmax=2×5+2=12,tmin?=2×1+3=3.?
(2)
(3)
［合作探究］?
师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.?
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.?
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.?
那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.?
2.设t=0，画出直线l0.?
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.?
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
布置作业
1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？?
分析：将已知数据列成下表：?
甲原料（吨）
乙原料（吨）
费用限额
成本
1 000
1 500
6 000
运费
500
400
2 000
产品
90
100
解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则?
z=90x+100y.?
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：?
由得
令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（,）时，直线90x+100y=t中的截距最大.?
由此得出t的值也最大，zmax?=90×+100×=440.?
答：工厂每月生产440千克产品.?
2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？?
解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，?
则
目标函数为z=2x+3y.?
作出可行域：?
把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取得最大值.?
解方程得M的坐标为（2，3）.?
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.?
3.课本106页习题3.3A组2.?