高中数学必修四：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案

2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是0?≤?≤180?
（2）两向量共线的判定定理
（3）练习
1.若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）?
A.-3 B.-1 C.1 D.3
（4）力做的功：W = ||||cos?，?是与的夹角.
功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定的，类比这种运算，我们引入“数量积”的概念。
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，
则数量││││cos? 叫与的数量积，记作，即有= ││││cos?，
（其中０≤θ≤π）.
并规定：向量与任何向量的数量积为0.
?探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
【平面向量数量积的几点说明】
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要特别注意：.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若?，且=0，不能推出=因为其中cos?有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是==
如右图：= ││││cos? = │││OA│，
= │ │││cos? = │││OA│
? = 但 ?
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是() ? ()
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
2．“投影”的概念：作图

定义：││cos?叫做向量在方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；
当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0；
当? = 0?时投影为││； 当? = 180?时投影为 ?││.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影││cos?的乘积.
探究1、：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，
1、? ? = 0
2、当与同向时， = ||||； 当与反向时， = ?||||.
特别的?= ||2或 │ │ ≤|||| cos? =
探究2、：平面向量数量积的运算律
（1）．交换律： =
（2）．数乘结合律：()? =(?) = ?()
（3）．分配律：(+)?=?+?
说明：（1）一般地，(·)≠（·）
（2）·＝·，≠＝
（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，
（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·
三、讲解范例：
例1．证明：①(＋)２＝２＋２·＋２ ②(＋)(-)=２-２
例2．已知││=12，││=9，，求与的夹角θ。
例3．已知││=6，││=4，与的夹角为60o求：（1）(+2)·(-3).
（2）│+│与│-│.
（ 利用 ）
例4．已知││=3，││=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.
四、课堂练习：
1．课后练习1、2、3、题

2．已知││=8，││=10，│+│=16，与的夹角θ的余弦.
五、课堂小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；
3．向量垂直的条件.
六、作业布置：习题2.4 A组1、2、3、题