人教A版高中数学必修12.1.1指数与指数幂的运算教学设计（第一课时）

本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．

1.教学重点：n次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质．
2.教学难点：根式概念、n次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算．

复习引入
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若，则叫做a的平方根.同理，若，则叫做a的立方根.
根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.
（二）形成概念

零的n次方根为零，记为
举例：16的次方根为，
等等，而的4次方根不存在.
小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.
根据n次方根的意义，可得：

肯定成立，表示an的n次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？
让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.
通过探究得到：n为奇数，
n为偶数, [
如

小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误.
例1：求下列各式的值

【分析】：当n为偶数时，应先写，然后再去绝对值.

2.观察以下式子，并总结出规律：＞0
①
②
③
④
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：



即：义为：

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

若＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58.
即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.
所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)
所以，是一个确定的实数.
一般来说，无理数指数幂
是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考： 的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：



例2（P56，例2）求值
；；；.

例3（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）
；；.
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
解：；
；
.
例4.计算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ ；⑵ .
解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；
⑵原式=
说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.[:]
例5. 计算下列各式：
（1） ；（2）(a>0).

说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
（三）达标检测
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
【解析】 a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1；(－a2)3＝－a6，故选A.
【答案】 A
2．下列各式中成立的一项是( )
A.7＝n7m B.＝
C.＝(x＋y) D.＝
【解析】 A中应为7＝n7m－7；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x＝y＝1时不成立；D正确．
【答案】 D
3.(a>0)的值是( )
A． 1 B．a
C．a D．a
【解析】 原式＝a3·a－·a－＝a3－－＝a.
【答案】 D
4．计算：0.25×－4－4÷20－－＝________.

【答案】 －4