人教版高中数学必修二教案：2.2.2平面与平面平行的判定
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修二教案：2.2.2平面与平面平行的判定 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 63.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-06 15:35:38 | ||
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文档简介
2.2.2 平面与平面平行的判定
教学目标
1.知识与技能：
（1）能够通过直观感知和操作确认，归纳并理解面面平行的判定定理，并能用它证明一些简单问题. （2）能准确使用数学符号语言、文字语言，图形语言表述判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力.
2.过程与方法：通过对图形的直观感知，合情推理得出两个平面平行的判定定理.
3.情感、态度与价值观：
（1）培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力.让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感.让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）学生体会转化思想方法的应用，提高空间想象力和逻辑思维能力.
教法指导
1.重点：平面与平面平行的判定定理及应用.???
依据：教学重在过程，重在研究，而不是重在结论.学生不应该死背定理内容，而是理解知识发生、发展的过程.这样，知识就成了一个数学模式，可用来解决具体问题.
2.难点：平面与平面平行的判定定理的探究发现及应用.
依据：因为问题的产生与解决具有一定的隐蔽性，虽然学生了解两个平面平行的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件.为此，本节的难点是两个平面平行的判定.重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养.
教学过程
情境引入
思考1：如果将正方体中的AB1，AD1连接构成了一个新的平面AB1D1，如何证明：平面AB1D1∥平面C1BD？
探索新知
1.直观感知.
思考1：根据同学们日常生活的观察，你们能举出平面与平面平行的具体事例吗？
【答案】教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的.
然后教师用多媒体动画演示.
思考2：两个平面满足什么条件时，就可以说它们是平行的？
【答案】根据定义，关键在于判断它们没有公共点. 2.探索思路，体验过程.
类比上一节，研究线面平行时，我们转化成线线的平行的 “平面化”的思想，平面与平面平行可转化成什么？ 【答案】点动成线，线动成面，平面也是由直线组成的，因此我们可以证明其中一个平面中的所有直线都平行于另一个平面.
通过探究我们知道：当上平面的两条相交直线与下平面平行时，两个平面是平行的.两个平面平行的问题可转化为一个平面内直线和另一个平面平行的问题．实际上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，只需要在一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面．
下面给出平面与平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
简单概括：线面平行面面平行.
思考：空间问题转化为平面问题. 教师：你能用符号来表示两个平面平行的判定定理吗？
aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥ββ∥β.
作用：判定或证明面面平行.
关键：在平面内找（或作）出两条相交直线与另一个平面平行.
总结：利用判断定理证明两个平面平行必须具备以下两个条件：
（1）有两条直线平行同一个平面；
（2）这两条直线必须相交.
题型1：判定定理的应用
例1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD与平面CB1D1平行.
【解析】本题考查的是面面平行的判定定理及线面垂直的判定定理，解题时要注意正方体有关性质的应用.题中要证两个平面平行，可以直接利用面面平行的判定定理，也可以利用线面垂直的性质.
证明：∵A1B1∥DC且A1B1=DC，
∴A1B1CD是平行四边形.
∴B1C∥A1D.
∵B1C面A1BD，A1D面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD.
同理D1C∥平面A1BD.
又D1C与B1C是平面D1B1C中的相交直线，
∴平面A1BD∥平面CB1D1.
题型2：判定定理综合应用
例2如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
已知：α∥γ，β∥γ，求证：α∥β.
【解析】应用平面与平面平行的判定定理.
证明：如图，作相交两平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f，a、b、c、d、e、f分别相交，
由
题型3：探究性问题
例3如图，已知a、b是异面直线，求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β.
【解析】本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力.根据前面学过的知识，过异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行.这样过a和b分别有平面与另一条线平行.那么，这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的α和β？
证明：在直线a上任取一点P，过P点作直线b′∥b.
故过a和b′可确定一平面，记为α.
在直线b上任取一点Q.
过Q点作直线a′∥a.
同理过a和a′可确定一平面，记为β.
∵a′∥a，aα，
∴a′∥α.同理b∥α.
∵a′β，bβ，a′∩b=Q
∴α∥β.
课堂提高
1．α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( )
A．α，β都平行于直线a，b
B．a，b是α内的两条直线，且a∥β，b∥β
C．a在α内且a∥β，b在β内且b∥α[
D．a，b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
【解析】A错，若a∥b，则不能判定α∥β；
B错，若a∥b，则不能判定α∥β；
C错，若a∥b，则不能判定α∥β；D正确.
【答案】D
2．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，则面DEF与面ABC的位置关系是________．
【解析】根据中位线的性质易判定直线与平面的平行关系，符合两平面平行的判定条件.
【答案】平行
3．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
证明：连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，ED?平面AC1D，
∴A1B与ED没有交点，
又∵ED?平面A1BC，A1B?平面A1BC，
∴ED∥A1B．
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．
又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D．
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO． ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA． 连接DB．∵P、O分别为DD1、DB的中点， ∴D1B∥PO．又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，∴D1B∥面PAO． 再由QB∥面PAO，且D1B∩QB=B，∴平面D1BQ∥平面PAO．
课堂小结
1.小结本节课所学的内容：平面与平面平行的判定定理以及应用.
2.判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
3.转化的思想方法，是数学思维的重要方法．解决数学问题的过程.
实质就是一个转化的过程，同学们要认真掌握．
意图：鼓励学生总结本节课学到了什么知识，还有哪些疑问，帮助学生认清本节课的知识结构，使学生归纳总结的能力得到提高，使知识得以升华.
课后作业：练习：1-3题.
教学目标
1.知识与技能：
（1）能够通过直观感知和操作确认，归纳并理解面面平行的判定定理，并能用它证明一些简单问题. （2）能准确使用数学符号语言、文字语言，图形语言表述判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力.
2.过程与方法：通过对图形的直观感知，合情推理得出两个平面平行的判定定理.
3.情感、态度与价值观：
（1）培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力.让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感.让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）学生体会转化思想方法的应用，提高空间想象力和逻辑思维能力.
教法指导
1.重点：平面与平面平行的判定定理及应用.???
依据：教学重在过程，重在研究，而不是重在结论.学生不应该死背定理内容，而是理解知识发生、发展的过程.这样，知识就成了一个数学模式，可用来解决具体问题.
2.难点：平面与平面平行的判定定理的探究发现及应用.
依据：因为问题的产生与解决具有一定的隐蔽性，虽然学生了解两个平面平行的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件.为此，本节的难点是两个平面平行的判定.重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养.
教学过程
情境引入
思考1：如果将正方体中的AB1，AD1连接构成了一个新的平面AB1D1，如何证明：平面AB1D1∥平面C1BD？
探索新知
1.直观感知.
思考1：根据同学们日常生活的观察，你们能举出平面与平面平行的具体事例吗？
【答案】教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的.
然后教师用多媒体动画演示.
思考2：两个平面满足什么条件时，就可以说它们是平行的？
【答案】根据定义，关键在于判断它们没有公共点. 2.探索思路，体验过程.
类比上一节，研究线面平行时，我们转化成线线的平行的 “平面化”的思想，平面与平面平行可转化成什么？ 【答案】点动成线，线动成面，平面也是由直线组成的，因此我们可以证明其中一个平面中的所有直线都平行于另一个平面.
通过探究我们知道：当上平面的两条相交直线与下平面平行时，两个平面是平行的.两个平面平行的问题可转化为一个平面内直线和另一个平面平行的问题．实际上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，只需要在一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面．
下面给出平面与平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
简单概括：线面平行面面平行.
思考：空间问题转化为平面问题. 教师：你能用符号来表示两个平面平行的判定定理吗？
aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥ββ∥β.
作用：判定或证明面面平行.
关键：在平面内找（或作）出两条相交直线与另一个平面平行.
总结：利用判断定理证明两个平面平行必须具备以下两个条件：
（1）有两条直线平行同一个平面；
（2）这两条直线必须相交.
题型1：判定定理的应用
例1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD与平面CB1D1平行.
【解析】本题考查的是面面平行的判定定理及线面垂直的判定定理，解题时要注意正方体有关性质的应用.题中要证两个平面平行，可以直接利用面面平行的判定定理，也可以利用线面垂直的性质.
证明：∵A1B1∥DC且A1B1=DC，
∴A1B1CD是平行四边形.
∴B1C∥A1D.
∵B1C面A1BD，A1D面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD.
同理D1C∥平面A1BD.
又D1C与B1C是平面D1B1C中的相交直线，
∴平面A1BD∥平面CB1D1.
题型2：判定定理综合应用
例2如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
已知：α∥γ，β∥γ，求证：α∥β.
【解析】应用平面与平面平行的判定定理.
证明：如图，作相交两平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f，a、b、c、d、e、f分别相交，
由
题型3：探究性问题
例3如图，已知a、b是异面直线，求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β.
【解析】本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力.根据前面学过的知识，过异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行.这样过a和b分别有平面与另一条线平行.那么，这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的α和β？
证明：在直线a上任取一点P，过P点作直线b′∥b.
故过a和b′可确定一平面，记为α.
在直线b上任取一点Q.
过Q点作直线a′∥a.
同理过a和a′可确定一平面，记为β.
∵a′∥a，aα，
∴a′∥α.同理b∥α.
∵a′β，bβ，a′∩b=Q
∴α∥β.
课堂提高
1．α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( )
A．α，β都平行于直线a，b
B．a，b是α内的两条直线，且a∥β，b∥β
C．a在α内且a∥β，b在β内且b∥α[
D．a，b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
【解析】A错，若a∥b，则不能判定α∥β；
B错，若a∥b，则不能判定α∥β；
C错，若a∥b，则不能判定α∥β；D正确.
【答案】D
2．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，则面DEF与面ABC的位置关系是________．
【解析】根据中位线的性质易判定直线与平面的平行关系，符合两平面平行的判定条件.
【答案】平行
3．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
证明：连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，ED?平面AC1D，
∴A1B与ED没有交点，
又∵ED?平面A1BC，A1B?平面A1BC，
∴ED∥A1B．
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．
又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D．
4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO． ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA． 连接DB．∵P、O分别为DD1、DB的中点， ∴D1B∥PO．又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，∴D1B∥面PAO． 再由QB∥面PAO，且D1B∩QB=B，∴平面D1BQ∥平面PAO．
课堂小结
1.小结本节课所学的内容：平面与平面平行的判定定理以及应用.
2.判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
3.转化的思想方法，是数学思维的重要方法．解决数学问题的过程.
实质就是一个转化的过程，同学们要认真掌握．
意图：鼓励学生总结本节课学到了什么知识，还有哪些疑问，帮助学生认清本节课的知识结构，使学生归纳总结的能力得到提高，使知识得以升华.
课后作业：练习：1-3题.