人教版高中数学必修二教案：3.1.1倾斜角与斜率

3.1.1　倾斜角与斜率
【提出问题】
在平面直角坐标系中，直线l经过点P.
问题1：直线l的位置能够确定吗？
提示：不能．
问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？
提示：无数条．
问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？
提示：倾斜程度不同．
【导入新知】
1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
3．倾斜角与直线形状的关系
倾斜角
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
直线
【化解疑难】
对直线的倾斜角的理解
(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.
【提出问题】
日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.
问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？
提示：可以．
问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？
提示：可以．
问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？
提示：与倾斜角的正切值相等．
【导入新知】
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.
2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．
【化解疑难】
1．倾斜角α与斜率k的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
2．斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
【例1】(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)
A．30°　　B．60°C．30°或150° D．60°或120°
(2)下列说法中，正确的是(　　)
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα
【解析】　(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
(2)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.
【答案】　(1)D　(2)D
【类题通法】
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
【活学活用】
1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)
A．[0°，90°)　B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)
解析：选C　直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．
2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°B．α-135°C．135°-αD.当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α-135°
解析：选D　当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D.
【例2】(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．
【解析】(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，
又k＝，由＝－1，得y＝－5.
(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1.
(3)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．
当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.
【答案】(1)－5　(2)1　(3)0
【类题通法】
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
【活学活用】
3．若直线过点 (1,2)，(4，2＋)，则此直线的倾斜角是 (　　)
A． 30° B．45°C．60° D．90°
解析：选A　设直线的倾斜角为α，直线斜率k＝＝，∴tan α＝.
又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.
【例3】　已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
【解析】　如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．
由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，最小值为.
【类题通法】
根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．
【活学活用】
4．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
解：＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．
∵kNA＝，kNB＝－，
∴－≤≤.
∴的取值范围为[－，]．
【典例】　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．
【解析】　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
【答案】　45°≤α≤135°　k≤－1或k≥1
【易错防范】
1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.
2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．