1.3三角函数的诱导公式（一）(二）学案

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学案 三角函数的诱导公式（一）
【学习目标】　
了解三角函数的诱导公式的意义和作用，能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
【知识要点】　
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝ ，cos(α＋2kπ)＝ ，tan(α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ，tan(π＋α)＝
(3)公式三：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，tan(－α)＝
(4)公式四：sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝
　诱导公式的记忆
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．

类型一　给角求值
例1　求下列各三角函数值．
(1)sin(－π)； (2)cos π； (3)sin[(2n＋1)π－π]．



类型二　给值求值问题
例2　已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．



类型三　三角函数式的化简
例3　化简下列各式．
(1)；


(2).


【课堂巩固】
1．求下列三角函数值．
(1)sin； (2)cos π； (3)tan(－855°)．

2．已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．


3．化简：(1)； (2).



【课堂小结】
诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．



三角函数的诱导公式（二）
【学习目标】　掌握诱导公式五、六并能应用解决简单的求值、化简与证明问题，对诱导公式一至六，能作综合归纳并熟记。
【知识要点】　
诱导公式五～六
(1)公式五：sin＝ ；cos＝ .
(2)公式六：sin＝ ；cos＝ .
诱导公式的理解、记忆与灵活应用
公式一～四归纳： “函数名不变，符号看象限”，即 。
公式五～六归纳：简记为“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”，即±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．


类型一　利用诱导公式求值
　例1　已知cos＝，≤α≤，求sin的值．





类型二　利用诱导公式证明恒等式
例2　求证：＝－tanα.




类型三　诱导公式的综合应用
例3　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos ＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．



【课堂巩固】
1、已知sin＝，求cos的值．
2、求证：=.
3、已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．

参考答案
例1：解　(1)sin(－π)＝－sin π＝－sin(2π＋π)
＝－sin π＝－sin(π－)＝－sin ＝－.
(2)cos π＝cos(2π＋π)＝cos(π＋)＝－cos ＝－.
(3)sin[(2n＋1)π－π]＝sin[2nπ＋(π－π)]＝sin ＝.
例2：解　∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－＝－ ＝－.
∴sin(105°＋α)＝sin＝－sin(α－75°)＝.
例3：解　(1)原式＝
=＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝＝＝－1


三角函数的诱导公式（二）答案
例1：解　∵α＋＝＋，∴sin(α＋)＝sin＝cos＝.
例2：证明　左边＝
＝＝
＝＝－＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．
例3：解　(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－，
又α是第三象限的角，∴cos α＝－＝－，∴f(α)＝.
(3)f＝－cos＝－cos＝－cos ＝－cos ＝－.
【课堂巩固】参考答案
1、解　∵cos＝cos＝cos＝sin＝.
2、证明　左边＝＝
＝＝＝＝.
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原等式成立．
3、解　∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．
∴sin(α－75°)＝－＝－＝－.
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝.







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