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华师大版数学八年级线段垂直平分线教学设计
课题 线段垂直平分线 单元 13.5.2 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 探索并掌握线段垂直平分线的性质； 探索并掌握线段垂直平分线的判定； 通过对线段垂直平分线的性质和判定的认识，理解互逆定理；
重点 垂直平分线的性质定理和判定定理
难点 垂直平分线的性质定理和判定定理
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是（ ） 直角三角形有一个角是直角； 两个锐角互余的三角形是直角三角形； 有一个角是直角的三角形是直角三角形； 直角三角形的两个锐角互余； 下列命题和它的逆命题都是真命题的是（ ） 两个负数的积是正数； 全等三角形对应角相等； 线段是轴对称图形； 两条直线相交成90°，这两条直线互相垂直； 二、提出问题 线段的垂直平分线有哪些性质呢？ 动口 动脑 巩固 引出新课
讲授新课 垂直平分线的性质直观感受： 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴. 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任意一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对折，你能发现PA与PB有怎样的关系？逻辑推理论证 已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点。 求证：PA＝PB. 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB. 证明：在ΔAPC和ΔBPC中， ∵AC＝BC（已知） ∠ACP＝∠BCP＝90°（已知）， PC＝PC（公共边）， ∴ΔAPC≌ΔBPC（SAS）， ∴PA＝PB（全等三角形对应边相等）. 线段垂直平分线的性质定理 文字表述：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 图形表述：符号表述：∵AC＝BC，MN⊥AB（已知），∴PA＝PB（垂直平分线的性质）. 二、垂直平分线的判定 1、探索： 条件 结论 性质定理 逆命题 学生独立思考，然后相互交流. 线段垂直平分线的性质定理的逆命题：到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上. 论证： 已知：如图，QA＝QB； 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.分析： （1）为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；（2）为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，也可以先平分线段AB，设AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB. 证明一：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C. 故∠QCA＝∠QCB＝90°. 在RtΔQCA和RtΔQCB中， ∵QA＝QB（已知）， QC＝QC（公共边）， ∴RtΔQCA≌RtΔQCB（HL） ∴AC＝BC（全等三角形对应边相等）， ∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明二：设线段AB的中点为C，连结QC. 则AC＝BC. 在ΔQCA和ΔQCB中， ∵QA＝QB（已知）， AC＝BC（已知）， QC＝QC（公共边）， ∴ΔQCA≌ΔQCB（SSS）， ∴∠QCA＝∠QCB＝90°（全等三角形对应角相等）， ∴QC⊥AB（垂直的定义），∴点Q在线段AB的垂直平分线上. 逆定理 文字表述：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 图形表述：符号表述：∵QA＝QB（已知）， ∴点Q在线段AB的垂直平分线上（垂直平分线的判定定理） 三、应用 1、证明 例1、求证：三角形三边的垂直平分线交于一点.已知：如图，ΔABC中，直线l是边AB的垂直平分线，直线m是边BC的垂直平分线，直线n是边AC的垂直平分线； 求证：l、m、n交于一点O. 分析：要证明三条直线交于一点，只需证明其中两条直线的交点必在第三条直线上就可以了。 证明：设直线l与直线m交于点O，连结OA、OB、OC。 ∵直线l是边AB的垂直平分线，直线m是边BC的垂直平分线 （已知）， ∴OA＝OB，OB＝OC（垂直平分线的性质）， ∴OA＝OC（等量代换）， ∴点O在线段AC的垂直平分线上（垂直平分线的判定定理）， ∵直线n是边AC的垂直平分线（已知）， ∴点O在直线n上. 即l、m、n交于一点O点O到ΔABC三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。 作图 例2、已知：平面上有四个点A、B、C、D； 求作：点P，使PA＝PB，PC＝PD.分析：（1）PA＝PB，说明点P在哪条直线上？ PC＝PD，说明点P在哪条直线上？ 作法： 第一步：连结AB，作AB的垂直平分线EF； 第二步：连结CD，作CD的垂直平分线GH； 第三步：EF与GH交于点P； 点P就是所求作的点.课堂练习在ΔABC中，点P在ΔABC内部，下列说明不正确的是（ ） 若PA＝PB，则点P一定在边AB的垂直平分线上； 若点P在边BC的垂直平分线上，则有PB＝PC； 若点P在AB和BC的垂直平分线上，则点P一定在AC的垂直平分线上； 点P一定是ΔABC的外心. 如图，AB的垂直平分线交AB于点F，交BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点E， 若AB＝13cm，BC＝20cm，AC＝11cm，则ΔABC的周长是 ； 若∠B＝25°，∠C＝40°，则∠DAE＝ ； 若∠BAC＝126°，则∠DAE＝ ；布置作业课本P96页练习第1、2、3题； 课本P98页习题13.5第1、2题； 动脑 动口 动口 动脑 动口 动口 动口 动口 动脑 动口 动口 动口 动脑 动口 动脑 动手（跟着老师一起画） 动口 动手 体验 论证 三种表述 复习找逆命题的方法 论证 三种表述 规范格式 规范格式 巩固
课堂小结 学生小结后，老师小结：这节课学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理.
板书
三、应用
线段垂直平分线的性质定理
二、线段垂直平分线的判定定理
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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(共25张PPT)
线段垂直平分线
数学华师大版 八年级上
新知导入
一、复习
1、命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是（ ）
A、直角三角形有一个角是直角；
B、两个锐角互余的三角形是直角三角形；
C、有一个角是直角的三角形是直角三角形；
D、直角三角形的两个锐角互余；
B
新知导入
一、复习
2、下列命题和它的逆命题都是真命题的是（ ）
A、两个负数的积是正数；
B、全等三角形对应角相等；
C、线段是轴对称图形；
D、两条直线相交成90°，这两条直线互相垂直；
D
新知导入
二、提出问题
线段的垂直平分线有哪些性质呢？
新知讲解
一、垂直平分线的性质
直观感受
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴.
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任意一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对折，你能发现PA与PB有怎样的关系？
新知讲解
一、垂直平分线的性质
推理证明
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点。
求证：PA＝PB.
分析：
图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.
新知讲解
一、垂直平分线的性质
推理证明
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点。
求证：PA＝PB.
证明：在ΔAPC和ΔBPC中，
∵AC＝BC（已知）
∠ACP＝∠BCP＝90°（已知），
PC＝PC（公共边），
∴ΔAPC≌ΔBPC（SAS），
∴PA＝PB（全等三角形对应边相等）.
新知讲解
一、垂直平分线的性质
垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
图形表述
符号表述
∵AC＝BC，MN⊥AB（已知），
∴PA＝PB（垂直平分线的性质）.
新知讲解
二、垂直平分线的判定
探 索
填表：
点在线段垂直平分线上
点到线段两端的距离相等
点到线段两端的距离相等
点在线段垂直平分线上
条件 结论
性质定理
逆命题
新知讲解
二、垂直平分线的判定
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
性质定理
逆命题
到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上.
这个命题是真命题吗？
新知讲解
二、垂直平分线的判定
已知：如图，QA＝QB；
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.
分析：
（1）为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
（2）为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，也可以先平分线段AB，设AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB.
新知讲解
二、垂直平分线的判定
证明一
过点Q作MN⊥AB，垂足为点C.
故∠QCA＝∠QCB＝90°.
在RtΔQCA和RtΔQCB中，
∵QA＝QB（已知），
QC＝QC（公共边），
∴RtΔQCA≌RtΔQCB（HL）
∴AC＝BC（全等三角形对应边相等），
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
新知讲解
证明二
二、垂直平分线的判定
设线段AB的中点为C，连结QC.
则AC＝BC.
在ΔQCA和ΔQCB中，
∵QA＝QB（已知），
AC＝BC（已知），
QC＝QC（公共边），
∴ΔQCA≌ΔQCB（SSS），
∴∠QCA＝∠QCB＝90°（全等三角形对应角相等），
∴QC⊥AB（垂直的定义），
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
新知讲解
二、垂直平分线的判定
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理
图表表述
图表表述
∵QA＝QB（已知），
∴点Q在线段AB的垂直平分线上（垂直平分线的判定定理）
新知讲解
三、应用
证明
例1、求证：三角形三边的垂直平分线交于一点.
分析：
要证明三条直线交于一点，只需证明其中两条直线的交点必在第三条直线上就可以了。
已知：如图，ΔABC中，直线l是边AB的垂直平分线，直线m是边BC的垂直平分线，直线n是边AC的垂直平分线；
求证：l、m、n交于一点O.
新知讲解
三、应用
证明
例1、求证：三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知：如图，ΔABC中，直线l是边AB的垂直平分线，直线m是边BC的垂直平分线，直线n是边AC的垂直平分线；
求证：l、m、n交于一点O.
证明：设直线l与直线m交于点O，连结OA、OB、OC。
∵直线l是边AB的垂直平分线，直线m是边BC的垂直平分线 （已知），
∴OA＝OB，OB＝OC（垂直平分线的性质），
∴OA＝OC（等量代换），
新知讲解
三、应用
证明
例1、求证：三角形三边的垂直平分线交于一点.
证明：∴点O在线段AC的垂直平分线上（垂直平分线的判定定理），
即l、m、n交于一点O
已知：如图，ΔABC中，直线l是边AB的垂直平分线，直线m是边BC的垂直平分线，直线n是边AC的垂直平分线；
求证：l、m、n交于一点O.
∵直线n是边AC的垂直平分线（已知），
∴点O在直线n上.
点O到ΔABC三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。
新知讲解
三、应用
作 图
例2、已知：平面上有四个点A、B、C、D；
求作：点P，使PA＝PB，PC＝PD.
分析：
（1）PA＝PB，说明点P在哪条直线上？
（2）PC＝PD，说明点P在哪条直线上？
新知讲解
三、应用
作 图
例2、已知：平面上有四个点A、B、C、D；
求作：点P，使PA＝PB，PC＝PD.
作法：
第一步：连结AB，作AB的垂直平分线EF；
第二步：连结CD，作CD的垂直平分线GH；
第三步：EF与GH交于点P；
点P就是所求作的点.
课堂练习
1、在ΔABC中，点P在ΔABC内部，下列说明不正确的是（ ）
A、若PA＝PB，则点P一定在边AB的垂直平分线上；
B、若点P在边BC的垂直平分线上，则有PB＝PC；
C、若点P在AB和BC的垂直平分线上，则点P一定在AC的垂直平分线上；
D、点P一定是ΔABC的外心.
D
课堂练习
2、如图，AB的垂直平分线交AB于点F，交BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点E，
（1）若AB＝13cm，BC＝20cm，AC＝11cm，则ΔABC的周长是 ；
（2）若∠B＝25°，∠C＝40°，则∠DAE＝ ；
（3）若∠BAC＝126°，则∠DAE＝ ；
20cm
50°
72°
课堂总结
这节课有哪些收获？
线段垂直平分线的性质定理
逆
定
理
线段垂直平分线的判定定理
作业布置
1、课本P96页练习第1、2、3题；
2、课本P98页习题13.5第1、2题；
谢谢
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