第2课时 空间中直线与直线之间的位置关系
知识点一 空间两直线的位置关系
1．空间中两条直线的位置关系
2．异面直线
(1)定义：把不同在任一平面内的两条直线叫作异面直线．
(2)画法：(通常用平面衬托)
,
1．异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
2．不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
知识点二 平行公理与等角定理
1．平行公理(公理4)与等角定理
(1)平行公理
①文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫作空间平行公理．
②符号表述：?a∥c.
(2)等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2．异面直线所成的角θ
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：0°<α≤90°.
(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
1．异面直线所成角的范围是0 °<θ≤90 °，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
2．公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )
(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )
(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )
(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.
答案：D
3．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( )
A．0°<α<90° B．0°<α≤90°
C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°
解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B.
答案：B
4．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，BB′∥AA′，DD′∥AA′，则BB′与DD′的位置关系是________．
解析：由公理4知，BB′∥DD′.
答案：平行
类型一 公理4的应用
例1 如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
【证明】
如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.
∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QD綊C1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1Q綊FD.又B1E綊C1Q，∴B1E綊FD，
∴四边形B1EDF为平行四边形.
公理4主要用于证明直线平行，只要找到一条直线与两条直线都平行，就可以证明两条直线互相平行，除了公理4 ，利用平面几何知识也可以证明线线平行．
方法归纳
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用公理4，即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由公理4得到a∥b.
跟踪训练1 已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝.求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等．
证明：如图所示．
由已知得EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH＝BD.
在△BCD中，＝＝，所以FG∥BD，
FG＝BD.根据公理4，知EH∥FG，又FG>EH，
所以四边形EFGH有一组对边平行但不相等．
由平面几何知识得到线线平行，用公理4进行转化．
类型二 等角定理及其应用
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
【证明】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A1M.
又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.
而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四边形F1MBC为平行四边形．
∴BM∥CF1.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
要证明∠EA1F＝∠E1CF1，可证明A1F∥CF1，A1E∥CE1且射线A1E与CE1，射线A1F与CF1的方向分别相反．
方法归纳
(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．
(2)证明角相等，一般采用三种途径
①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．
跟踪训练2 在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，
所以PN∥BC.①
又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，
所以A1M綊NC.
所以四边形A1NCM为平行四边形，
于是A1N∥MC.②
由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.
利用空间等角定理证明两角相等的步骤：
(1)证明两个角的两边分别对应平行；
(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反．
类型三 求异面直线所成的角
例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成的角的大小．
【解析】 方法一 如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，
则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
方法二 如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊DB1，
∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝，
取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，
∴HF2＝HI2＋IF2＝，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
方法三：如图，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN.
∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，
∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.
连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，
∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，
则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
设AA1＝k(k>0)，则MP＝k，DM＝k，DP＝k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，
∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
设AA1＝k(k>0)，则B1D＝k，DQ＝k，B1Q＝k，
∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
利用中位线作平行线，找出异面直线DB1与EF所成的角即可求解．
方法归纳
求异面直线所成角的步骤
一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角；
二证：证明作出的角就是要求的角；
三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解．,
跟踪训练3 如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA与BC所成的角的大小．
解析：如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，
∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.
同理可得EF∥BC.
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．
在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2，
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
平移PA，BC至一个三角形中找出PA和BC所成的角求出此角
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．可能相交、平行、也可能异面
解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．
答案：D
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝50°，则β等于( )
A．50° B．130°
C．40° D．50°或130°
解析：由等角定理知β与α相等，故选A.
答案：A
3.
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G，H分别在边CD，DA上，且满足CG＝GD，DH＝2HA，则四边形EFGH为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
解析：因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF綊AC，
又＝，＝，
所以＝，所以HG綊AC，
所以EF∥HG且EF≠HG，
所以四边形EFGH为梯形．
答案：D
4．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
答案：D
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：
如图，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，所有与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60°角．所以异面的有2条．
又△AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．
答案：③④
7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________________________________________________________________________；
(2)AD与BC′所成的角为________________________________________________________________________．
解析：连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，
则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．
∴∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.
易知∠C′BC＝45°.
答案：(1)60° (2)45°
8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．
解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
答案：③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形．
证明：取B1B的中点P，连接C1P，MP.
因为N为C1C的中点，由正方体性质知C1N綊PB，所以四边形C1PBN为平行四边形，所以C1P綊BN，(*)
又因为M，P分别为A1A，B1B的中点，有MP綊A1B1.
又由正方体性质知A1B1綊C1D1，
所以MP綊C1D1，
所以四边形D1MPC1为平行四边形，
所以C1P綊MD1.
由(*)知MD1綊BN，
所以四边形MBND1为平行四边形．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，
易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角(或其补角)．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
[能力提升](20分钟，40分)
11．[2019·江西师大附中月考]已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：把a平移至a′与b相交，其夹角为60°.
60°角的补角的平分线c与a、b成60°角．
过空间这一点作直线c的平行线即满足条件．
又在60°角的“平分面”上还有两条满足条件，故选C.
答案：C
12.
[2019·江西新余一中月考]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
解析：EH＝3，FG＝6×＝4，
设EH，FG间的距离为h，
则S梯形EFGH＝＝28，得h＝8 (cm)．
答案：8 cm
13.
已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
证明：
如图，连接AC，在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是△ADC的中位线，
所以MN∥AC，
由正方体的性质得AC∥A1C1，
所以MN∥A1C1.
又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.
14．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小．
解析：如图，取BD的中点M，连接EM，FM.
因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以EM綊AD，FM綊BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．
因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，
则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°，
则∠EMF＝2∠EMH＝120°.
所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.
课件31张PPT。
