2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系
知识导图
学法指导
1.在判断线面关系、面面关系时，一般都要遵循从“低维”到“高维”的转化，即从线线关系到线面关系，再到面面关系．
2．无论是判断还是证明，一定要注意对自然语言、图形语言和符号语言进行相互转换，使三者相辅相成．
高考导航
本节内容在高考中很少单独考查，通过掌握空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，进而掌握后面将要学习的直线、平面平行(或垂直)的判定及其性质等，要引起重视.
知识点一 空间中直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在
平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
无数个公共点
1个公共点
0个公共点
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
知识点二 平面与平面之间的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有一条公共直线
位置关系
两平面平行
两平面相交
图形表示
符号表示
α∥β
α∩β＝a
1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．
2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )
(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．( )
(3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行．( )
(4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线均与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内直线均与a相交
D．直线a与平面α有公共点
解析：若直线a不平行于平面α，则直线a在平面α内或直线a与平面α相交，故选D.
答案：D
3．平面α∥平面β，直线a∥平面α，则( )
A．a∥β B．a在平面β上
C．a与β相交 D．a∥β或a?β
解析：如图1满足a∥α，α∥β，此时a∥β；
如图2满足a∥α，α∥β，此时a?β，故选D.
答案：D
4．若直线a，b是异面直线，a?β，则b与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．b?β D．平行或相交
解析：∵a，b异面，且a?β，∴b?β，∴b与β平行或相交．
答案：D
类型一 考查直线与平面的位置关系
例1 给出以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b?α，则a∥b；④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故①错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故②错误；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故③错误．④显然正确．
【答案】 B
作出一个长方体→找出满足条件的直线和平面→对比结论判断正误
方法归纳
直线与平面位置关系的判断方法和注意事项
(1)判断方法．
首先把文字语言转化为图形语言，然后弄清图形间的相对位置是确定的还是可变的，最后根据定义确定直线与平面的位置关系．
可以借助几何体模型，把要判断关系的直线和平面放在某些具体的空间图形中，以便正确作出判断，切忌凭空臆断．
(2)注意事项．
①空间中直线与平面只有三种位置关系：直线与平面平行、直线与平面相交和直线在平面内．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽和遗漏．
②正确理解“直线在平面外”的含义．
跟踪训练1 下列结论正确的是________．
(1)若直线a∥平面α，直线b?α，则a∥b；
(2)若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a与b相交；
(3)若直线a?平面α，则a∥α或a与α相交；
(4)若直线a∩平面α＝A，则a?α；
(5)若直线a?平面α，直线b?平面α，则a，b无公共点．
解析：(1)错，a，b还可能异面；(2)错，a，b还可能异面或平行；(3)正确，a?α包含两种情况，相交或平行；(4)正确，a∩α＝A，则a与α相交，有a?α；(5)错，a，b还可能相交．
答案：(3)(4)
有关直线与平面的位置关系的问题，我们可借助熟悉的几何体(如正方体、长方体)模型解决．
类型二 平面与平面的位置关系
例2 α、β是两个不重合的平面，下列说法中正确的是( )
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
【解析】 A，B都不能保证α，β无公共点，如图(1)所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图(2)所示；只有D保证α，β一定无公共点．
【答案】 D
从平面与平面平行的定义出发进行判断，即两平面没有公共点．
方法归纳
两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.
跟踪训练2 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不正确
解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB?平面ABCD，C1D1?平面A1B1C1D1，C1D1?平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面CDD1C1相交．
答案：C
借助正方体，找到题中的条件符合的平面，观察两个平面的位置关系.
2.1.3-4
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
解析：如下图所示：
由图可知，两个平面平行或相交．
答案：C
2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
解析：由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．
答案：D
3．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．
答案：B
4．[2019·安阳课时检测]过平面外两点作该平面的平行平面，可以作( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
解析：平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：
①直线与平面相交，可以作0个平行平面．
②直线与平面平行，可以作1个平行平面．
答案：C
5．[2019·郑州课时检测]给出下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，b?平面α，则a∥α；③若直线a∥平面α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．
其中说法正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．
对于②，∵直线a∥b，b?平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．
对于③，比如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥平面ABCD，A1D1∥AD，∴平面ABCD内任一条平行于AD的直线都与A1D1平行，∴③说法正确．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．有下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．
答案：①②
7．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．
解析：A，B，C，D四个顶点在平面α的异侧，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．
答案：7
8．下列命题正确的有________．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，则直线a∥b.
解析：对②，直线l也可能与平面相交；对③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．
答案：①⑤
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．
解析：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．
10.
如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
解析：平面ABC与β的交线与l相交．
证明：∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，
∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，
则P∈AB，P∈l.
又∵AB?平面ABC，l?β，
∴P∈平面ABC，P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与β的交线．
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
∴平面ABC与β的交线与l相交．
[能力提升](20分钟，40分)
11．[2019·洛阳单元练习]下列说法中正确的个数是( )
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；
②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①错误．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能有2条或3条交线，还可能只有1条交线．
②错误．如果a，b是两条直线，a∥b，那么a有可能在经过b的平面内．
③错误．直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时a可以与平面α内无数条直线平行．
答案：A
12．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．
解析：三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．
答案：8 4
13．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．
解析：直线PQ与平面AA′B′B平行．
连接AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′平行，∴PQ与平面AA′B′B没有公共点，∴PQ与平面AA′B′B平行．
14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．
解析：如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.
∵E是AA1的中点，
∴EF∥A1B.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形．
∴A1B∥CD1，
∴EF∥CD1.
∴E，F，C，D1四点共面．
∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.
∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
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