2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定
知识导图
学法指导
1.在进行线面平行、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从线线平行到线面平行，再到面面平行．
2．使用线面平行、面面平行的判定定理时，一定要特别注意定理的使用条件，这些条件有很强的制约性，但它们也是我们解题时打开思路的突破口．
高考导航
1.判定直线与平面平行：在高考中常有考查，多在解答题的第一问出现，难度不大，分值5～7分．
2．判定平面与平面平行：在高考中较少单独考查，一般以选择题或填空题的形式出现，以符号语言为载体，综合考查直线与平面、平面与平面等的位置关系，难度中等，分值5分.
知识点一 直线与平面平行的判定
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
图形语言
符号语言
a?α，b?α，且a∥b?a∥α
用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a?α；(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b.
知识点二 平面与平面平行的判定
文字语言
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
图形语言
符号语言
?β∥α
1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
2．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( )
(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．( )
(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交．
答案：C
3．下列结论正确的是( )
A．过直线外一点，与该直线平行的平面只有一个
B．过直线外一点，与该直线平行的直线有无数条
C．过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条
D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行
解析：过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条，只要直线与平面无公共点，就是直线与平面平行．
答案：C
4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交
解析：因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.
答案：D
类型一 直线与平面平行的判定
例1 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
【证明】 如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
在平面A1CD内找到与BC1平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理证明．
方法归纳
(1)直线与平面平行的判定定理的应用步骤
①线与线平行；
②一条线在已知平面内；
③一条线在已知平面外．
(2)中点的应用
在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径：
①中位线→线线平行；
②平行四边形→线线平行．
跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.
证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.
∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，
∴OF綊BE，
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO.
∵EF?平面BDD1B1，
BO?平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
要证EF∥平面BDD1B1，从平面BDD1B1中寻找一条直线与EF平行是证明的关键．
类型二 平面与平面平行的判定
例2 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点．
求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.
【证明】 ∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，
∴A′E′綊BE，
∴四边形A′EBE′为平行四边形，
∴A′E∥BE′.
∵A′E?平面BCF′E′，BE′?平面BCF′E′，
∴A′E∥平面BCF′E′.
同理，A′D′∥平面BCF′E′.
又A′E∩A′D′＝A′，
∴平面A′EFD′∥平面BCF′E′.
由平面与平面平行的判定定理知，要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线与另一个平面平行即可．
方法归纳
利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；
第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．
跟踪训练2 如图所示，点B为△ACD所在平面外一点，点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
求证：平面MNG∥平面ACD.
证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于点P，F，H.
∵点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
∴＝＝＝2.
连接PF、FH，PH，则有MN∥PF.
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，∴MN∥平面ACD.
同理可得MG∥平面ACD，又∵MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
类型三 线面平行、面面平行的综合应用
例3 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G，H分别为CC′，C′D′，DD′，CD的中点，N为BC的中点，试在E，F，G，H四点中找两点，使这两个点与点N确定一个平面α且平面α∥平面BB′D′D.
【解析】 如图，连接HN，由中位线定理得，HN∥BD.
∵BD?平面BB′D′D，HN?平面BB′D′D，∴HN∥平面BB′D′D.
连接HF，则HF∥DD′，
∵DD′?平面BB′D′D，HF?平面BB′D′D，∴HF∥平面BB′D′D.
又HN∩HF＝H，连接FN，则平面HFN∥平面BB′D′D，
∴H，F，N三点确定的平面α与平面BB′D′D平行．
由平面与平面平行的判定定理知，只需所找的两点与点N构成的直线中，有两条相交直线与平面BB′D′D平行即可．
方法归纳
线面、面面平行综合应用的策略
(1)在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．
(2)因为，所以对于平行关系的综合问题的解决，必须要灵活运用三种平行关系的判定定理．
跟踪训练3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
解析：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.下面给出证明：
如图，取BB1的中点F，连接DF，DE，EF，则DF∥B1C1，∵DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1.
∵E为AB的中点，F为BB1的中点，
∴EF∥AB1，∵EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.又EF∩DF＝F，
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.
先借助图形确定E为AB的中点，再给出证明.
2.2.1-2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.
答案：D
2．使平面α∥平面β的一个条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线
解析：A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.
答案：D
3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1E与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．
答案：A
4．[2019·大连校级检测]如图，△ABC的边BC在平面α内，EF是△ABC的中位线，则( )
A．EF与平面α平行
B．EF与平面α不平行
C．EF与平面α可能平行
D．EF与平面α可能相交
解析：∵EF∥BC，BC?α，EF?α，∴EF∥平面α.
答案：A
5．[2019·辽宁省葫芦岛市校级月考]已知在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，则在该长方体中，与平面EFG平行的面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，
∴EF∥AB，FG∥BC，
又EF?平面ABCD，FG?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，
又EF∩FG＝F，
∴由平面与平面平行的判定定理得：
平面EFG∥平面ABCD.
同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.即在该长方体中，与平面EFG平行的平面有2个．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如果直线a，b相交，直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b与平面α的位置关系是相交或平行．
答案：相交或平行
7．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
解析：由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.
又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.
同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
答案：平行
8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．
解析：
如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH为过点G且与平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.
答案：12
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．[2019·广东佛山质检]如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC.
证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.
在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，
则EG∥FC.
在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．
在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，
则BE∥MO.
又MO?平面AFC，BE?平面AFC，
所以BE∥平面AFC.
10．在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AC的中点．
求证：平面EFG∥平面ABD.
证明：因为E，F分别是BC，CD的中点，
所以EF∥BD.
又BD?平面ABD，EF?平面ABD，
所以EF∥平面ABD.同理可得EG∥平面ABD.
又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，
所以平面EFG∥平面ABD.
[能力提升](20分钟，40分)
11.
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE?EB＝AF?FD＝1?4，H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
解析：由题意，知EF∥BD，且EF＝BD，HG∥BD，且HG＝BD，∴EF∥HG，且EF≠HG，∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，EH与平面ADC不平行，故选B.
答案：B
12．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)
解析：①中连接点A与点B上面的顶点，记为C，则易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均与平面MNP相交．
答案：①④
13．已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝ DQ如图所示．求证：PQ∥平面CBE.
证明：作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，
则PM∥QN，＝，＝.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN.
又PQ?平面CBE，MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
14．已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
解析：存在．与平面AMN平行的平面有如图所示三种情况：
下面以图(1)为例进行证明．
连接ME，B′D′.
∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM.
又BE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.
∵MN是△A′B′D′的中位线，∴MN∥B′D′.
∵四边形BDD′B′是平行四边形，
∴BD∥B′D′，∴MN∥BD.
又BD?平面BDE，MN?平面BDE，∴MN∥平面BDE.
又AM?平面AMN，MN?平面AMN，且AM∩MN＝M，
∴平面AMN∥平面BDE.
课件26张PPT。
