2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
知识导图
学法指导
学习本节知识的过程中，一方面要把握好性质定理的条件(切不可漏掉某个条件)和结论，根据结论来找条件；另一方面要熟练掌握平行关系的转化，根据题目的条件和结论，巧妙地实现线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化．
高考导航
本节知识在高考中若出现在选择题、填空题中，则难度不大，分值5分；若出现在解答题中，则常利用线面平行、面面平行的性质定理得到线线平行，再进一步证明其他问题.
知识点一 直线与平面平行的性质
文字语言
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a ?β；③平面α，β相交，即α∩β＝b . 三个条件缺一不可．
知识点二 平面与平面平行的性质
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
2．该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.( )
(2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．( )
(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是( )
A. 平行
B. 相交
C. 平行或相交
D. 异面
解析：因为AD∶DB＝AE∶EC，所以DE∥BC，又DE?α，BC?α，所以BC∥α.
答案：A
3．过平面外一条直线作已知平面的平行平面( )
A．必定可以并且可以作一个 B．至少可以作一个
C．至多可以作一个 D．一定不能作
解析：直线与平面相交时，平行的平面不存在；直线与平面平行时，平行的平面唯一．
答案：C
4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．
解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.
答案：平行
类型一 线面平行的性质定理的应用
例1 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点O是AC的中点，
又E是PC的中点，∴AP∥OE.
∵AP?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AP?面PAGF，AP∥平面BDE.
∵平面PAGF∩平面BDE＝GF，
∴AP∥GF.
要证AP∥GF，根据线面平行的性质定理，只需证AP∥平面BDE，即只需证AP与平面BDE内的某一条直线平行．
方法归纳
(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．
跟踪训练1 如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，
∴AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
∴四边形MNPQ为平行四边形．
AB∥平面MNPQ， CD∥平面MNPQ→MN∥PQ，NP∥MQ→四边形MNPQ是平行四边形
类型二 面面平行性质定理的应用
例2 如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．
【解析】 直线a，b的位置关系是平行．
如图所示，连接DD′.
∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a.
同理可证AD∥b.
又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′綊BB′，又BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，
∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.
由ABC－A ′B ′C ′为三棱柱，得平面ABC∥平面A ′B ′C ′，若第三个平面与它们相交，则交线平行．
方法归纳
面面平行性质定理的两个主要应用
(1)证明线线平行：利用面面平行的性质定理推出线线平行．
(2)判断线面平行：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
跟踪训练2 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.
求证：EC∥A1D.
证明：因为BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
因为BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
线线平行?线面平行?面面平行?线线平行．
类型三 平行关系的综合应用
例3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
【解析】
(1)法一 如图，连接AC，CD1.
因为P，Q分别是AD1，AC的中点，
所以PQ∥CD1.
又PQ?平面DCC1D1，
CD1?平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
法二 取AD的中点G，连接PG，GQ，
则有PG∥DD1，PG?平面DCC1D1，DD1?平面DCC1D1，
所以PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1，
又PG∩GQ＝G，PG?平面DCC1D1，GQ?平面DCC1D1，
所以平面PGQ∥平面DCC1D1.
又PQ?平面PGQ，所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.
(3)法一 取B1D1的中点O1，
连接FO1，BO1，则有FO1綊B1C1.
又BE綊B1C1，所以BE綊FO1.
所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，
又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
法二 取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，
则有FE1∥B1D1，FE1?平面BB1D1D，B1D1?平面BB1D1D，
所以PE1∥平面BB1D1D，同理EE1∥平面BB1D1D，
又FE1∩EE1＝E1，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，
所以EF∥平面BB1D1D.
线面平行、面面平行的性质定理的应用，往往需要通过“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知条件联系起来．
方法归纳
(1)证明线面平行的方法有“线线平行?线面平行”或“线线平行?线面平行?面面平行?线面平行”．
(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．
跟踪训练3 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3.F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE?ED的值．
解析：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.
因为EG∥FD，EG?平面BDF，FD?平面BDF，
所以EG∥平面BDF，又CE∥平面BDF，EG∩CE＝E，EG?平面CGE，CE?平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，
又CG?平面CGE，所以CG∥平面BDF，
又CG?平面PAC，平面BDF∩平面PAC＝ FO，
所以FO∥CG.又O为AC中点，
所以F为AG中点，所以FG＝GP＝1，
所以E为PD中点，PE?：ED＝1?：1.
底面ABCD是平行四边形，CE∥平面BDF ?构造辅助平面与平面BDF平行，线面平行的性质定理.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．[2019·孝感校级单元测试]如果直线a平行于平面α，则( )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a垂直的直线
D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线
解析：过直线a可作无数个平面与α相交，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确．
答案：B
2.
如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.
答案：A
3．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a?α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.
其中正确的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．
答案：A
4．[2019·广州校级课时练]如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
解析：四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，因为MN?平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥PA.
答案：B
5．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．不确定
解析：因为平面与长方体的两组相对的平面分别相交，根据面面平行的性质定理可知，两组交线分别平行，即EF∥HG，EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形，故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．
解析：截面四边形为平行四边形，则l＝2×(4＋6)＝20.
答案：20
7．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：连接FH，由题意知，HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1，且HN∩FH＝H，所以平面NHF∥平面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时，有MN∥平面B1BDD1.故填M∈线段HF.
答案：M∈线段HF.
8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
解析：由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC，所以＝，又AC＝a，所以PQ＝a.
答案：a
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.
证明：因为EH∥FG，EH?平面BCD，
FG?平面BCD，
所以EH∥平面BCD，
又因为EH?平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，
所以EH∥BD.
10．正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面BCE.
证明：证法一(线线平行?线面平行) 如图1所示，
作PM∥AB，交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴＝＝，＝，
∴＝，又AB綊DC，∴PM∥QN且PM＝QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN，
又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面CBE.
证法二(面面平行?线面平行) 如图2，在平面ABEF内过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM，又PM?平面BCE，BE?平面BCE，∴PM∥平面BCE，＝.又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，MQ?平面BCE，BC?平面BCE，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ?平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
[能力提升](20分钟，40分)
11．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE?：EA＝BF?：FC，且DH?：HA＝DG?：GC
D．AE?：EB＝AH?：HD，且BF?：FC＝DG?：GC
解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE?：EB＝AH?：HD，且BF?：FC＝DG?：GC.
答案：D
12．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′?：AA′＝2?：3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为________．
解析：由题意知，△A′B′C′∽△ABC，从而＝2＝2＝.
答案：4?：25
13.
如图，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
解析：(1)证明：因为BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥BC.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE綊AM.
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE.
又因为AE?平面PAD，MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
14.
如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解析：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，AB?平面EFGH，EF?平面EFGH.
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0∴＝，则＝＝＝1－.
∴FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0∴四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
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