2.3.1 直线与平面垂直的判定
知识导图
学法指导
1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线与平面相交所成的角为90°的角度来讨论，又可以从已有的线线垂直关系出发进行推理和论证．
2．在线面垂直的判定定理中，有非常重要的限制条件“两条相交直线”，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用时一定要注意体现逻辑推理的规范性．
3．求直线与平面所成的角的关键是作直线在平面上的射影．
高考导航
1.考查线线、线面垂直关系的判定，常以选择题的形式出现，也可以是解答题的某一问，分值5分．
2．考查直线与平面所成的角，常出现在文科卷中，以解答题的一问的形式呈现，分值5分．
3．考查与其他知识的综合问题，如求体积、参数、比值等，分值5～6分.
知识点一 直线与平面垂直
直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足
画法
通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图
判定定理
文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号表述：?l⊥α
1．直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
2．注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
3．判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
知识点二 直线与平面所成的角
直线和平面所成的角
定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角．
当直线与平面垂直时，它们所成的角是90°.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°
范围
0°≤θ≤90°
画法
如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角
把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．( )
(2)若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b.( )
(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1B1CD
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
答案：B
3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
答案：C
4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥α，l∥m，则m⊥α B．若l∥α，m?α，则l∥m
C．若l⊥m，m?α，则l⊥α D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能平行、异面或相交．
答案：A
类型一 直线与平面垂直定义的理解
例1 已知平面α及α外一条直线l，给出下列命题：
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α； ②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α；
③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α； ④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．
【答案】 C
命题是否正确，一般先考虑能否利用定义来判断．
方法归纳
直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直，“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义．但“任一直线”与“无数条直线”含义不一样．
跟踪训练1 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证该直线与平面垂直．而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．
答案：①③④
用定义判断时一定要弄清两直线是否相交．
类型二 证明直线与平面垂直
例2 如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC＝BC，N是AB的中点．求证：CN⊥平面ABB1A1.
【证明】 ?AA1⊥CN，
?AB⊥CN，
又AA1?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，AA1∩AB＝A，
所以CN⊥平面ABB1A1.
要证明CN⊥平面ABB1A1，先证明AA1⊥CN且AB⊥CN.
方法归纳
线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直．推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件．
跟踪训练2 如图，已知PA⊥底面ABC，其中∠ABC＝90° .求证：BC⊥平面PAB.
证明：∵PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，且AB?平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥平面PAB.
本题中直接给出直角，据此可得垂直关系．
类型三 直线与平面所成的角
例3 已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝.求OA与平面α所成的角的大小．
【解析】 ∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴△AOB，△AOC为正三角形，
∴AB＝AC＝1，又BC＝，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，
∴△BAC为等腰直角三角形．
∵OB＝OC＝1，BC＝，∴OB2＋OC2＝BC2，∴OB⊥OC，
∴△BOC为等腰直角三角形，
如图，取BC的中点H，连接AH，OH，则AH⊥BC，易得△AHB≌△AHO，∴AH⊥OH，又OH∩BC＝H，OH?平面α，BC?平面α，∴AH⊥平面α，∴∠AOH即为OA与平面α所成的角．
在Rt△AOH中，AH＝，
∴sin∠AOH＝＝，
∴∠AOH＝45°，
即AO与平面α所成的角的大小为45°.
证明△AOB，△AOC为正三角形→证明△BAC，△BOC为等腰直角三角形→取BC的中点H→证明AH⊥平面α→找出直线OA与平面α所成的角→求角
方法归纳
求直线与平面所成的角的步骤
(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
(3)求：一般来说是借助三角形的相关知识求角．
跟踪训练3 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
解析：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.
由ABCD－A1B1C1D1为正方体，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1?平面ABC1D1，D1C1?平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C，∴EF⊥平面AC1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角．
在Rt△EOA中，
EO＝EF＝B1C＝，
AE＝＝ ＝，
∴sin∠EAO＝＝.
∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.
求直线与平面所成的角?按“一作，二证，三算”的步骤计算．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知直线l⊥α，α∥β，则( )
A．l∥β B．l?β
C．l⊥β D．以上均有可能
解析：由于α∥β，则平面β内存在两条相交直线m，n分别平行于平面α内两条相交直线a，b，又l⊥α，则l⊥a，l⊥b，所以l⊥m，l⊥n，所以l⊥β.
答案：C
2．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：若l∥m，则l?α，∵m?α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行．
答案：A
3．已知直线a、b和平面α，下列推理中错误的是( )
A.?a⊥b B.?b⊥α
C.?a∥α或a?α D.?a∥b
解析：当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．故选D.
答案：D
4．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1
解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；
从而BD⊥AC1，即选项B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，
所以AC1⊥BD1不正确．选D.
答案：D
5．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，
在Rt△AOB中，AB＝2BO，
所以cos∠ABO＝，
即∠ABO＝60°.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形．
解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．
答案：4
7．有下列四种说法，正确的序号是________．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.
解析：①正确；对于②，若直线n?α，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，只有a，b相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．
答案：①
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
解析：如图所示，连接B1D1，则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△BD1B1中，
tan∠BD1B1＝＝＝，
则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.
证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，
∴底面ABCD为直角梯形，
AD＝＝.
∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.
又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，
∴SD⊥SA.
连接BD，则BD＝＝，∴BD2＝SD2＋SB2，
∴SD⊥SB.
又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.
10．如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
解析：(1)证明：连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点．
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由AC＝BC知，
∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，
又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，
由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，
又△AOC是边长为2的正三角形，
所以CD＝
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以tan∠CPD＝＝，∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
[能力提升](20分钟，40分)
11．[2019·淮安一中月考]在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．BC⊥平面PAE
C．DF⊥平面PAE
D．AE⊥平面APC
解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，
所以DF∥BC，故BC∥平面PDF，故A项正确．
又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，PE⊥BC，所以BC⊥平面PAE，
又DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故B、C项正确．
由于AE与AP不垂直(否则，等腰三角形PAE将有两个直角)，故AE与平面APC不垂直．选D.
答案：D
12．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心．
解析：因为PA＝PB＝PC，
所以OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；
若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，
所以BC⊥PO.
所以BC⊥平面PAO.
所以BC⊥AO.
同理AC⊥OB.
所以O是△ABC的垂心．
若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．
答案：外 垂 内
13.
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.
证明：连接PE，EC.
∵PA⊥平面ABCD.
∴PA⊥AD，PA⊥AB.
在Rt△PAE，Rt△CDE中，
PA＝AB＝CD，AE＝DE，
∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，∴EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，
∴BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
解析：(1)如图所示，由于AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，直线PD?平面PDC，所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，
故cos∠DAP＝＝.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明：因为AD⊥平面PDC，PD?平面PDC，所以AD⊥PD.
又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.
(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC内的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，
故四边形DABF为平行四边形，故BF＝AD＝1，
由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，AD∥BC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
课件28张PPT。
