2.3.2 平面与平面垂直的判定
知识导图
学法指导
1. 平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从平面与平面的夹角为直角的角度讨论，又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证．
2．面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途径．
3．判定定理中的条件“一个平面经过另一个平面的一条垂线”既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用定理时，一定要注意定理的条件．
高考导航
1.求二面角是高考理科卷的常考内容，常与线面、面面位置关系综合在一起进行考查，以解答题的形式出现，分值5～10分．
2．平面与平面垂直的判定定理，一般不会单独考查，通常和平行、夹角等知识综合考查，以选择题或解答题的一问的形式出现，分值5分.
知识点一 二面角
1．二面角
二面角
定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．
这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
如图，记作：二面角α－l－β或二面角P－AB－Q或二面角P－l－Q
范围
0°≤θ≤180°
2.二面角的平面角
文字语言
在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角
图形语言
符号语言
α∩β＝l，O∈l，OA?α，OB?β，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB为二面角α－l－β的平面角
作二面角的平面角的方法
方法一(定义法)：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图①，∠AOB为二面角α －a －β的平面角．
方法二(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图②，∠AOB为二面角α －l －β的平面角．
方法三(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图③，∠AFE为二面角A －BC －D的平面角．
知识点二 平面与平面垂直
平面与平面垂直
定义
如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β
画法
通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：
判定定理
文字表述：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
符号表示：?α⊥β
定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．( )
(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.( )
答案：(1)√ (2)√
2.
如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对．选D.
答案：D
3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC
解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
所以AD⊥平面DBC.
又因为AD?平面ADC，
所以平面ADC⊥平面DBC.
故选D.
答案：D
4．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：取正方体ABCD－A1B1C1D1，连接AC，A1C1，把AD所在直线看作直线m，BB1所在直线看作直线n，把平面BB1C1C作为平面α，平面AA1C1C作为平面β.对于A虽满足m⊥n，m∥α，n∥β，但α不垂直于β，从而否定A.类似地可否定B和D.
答案：C
类型一 求二面角
例1 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)求二面角D′－AB－D的大小；
(2)求二面角A′－AB－D的大小．
【解析】 (1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角．
又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.
找出二面角的平面角→证明所找的角即所求→计算该角的大小
方法归纳
求二面角平面角的常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求．
跟踪训练1 如图所示，α∩β＝CD，P为二面角内部一点．PA⊥α.PB⊥β，垂足分别为A，B.
(1)证明：AB⊥CD；
(2)若△PAB为等边三角形，求二面角α－CD－β的大小．
解析：(1)证明：∵
∴CD⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴CD⊥AB.
(2)∵△PAB为等边三角形，∴∠APB＝60°.
故二面角α－CD－β的平面角为120°.
(1)由α∩β＝CD，PA⊥α，PB⊥β推出CD⊥平面PAB，从而得出CD⊥AB；
(2)可转化为求∠APB，再求出二面角的大小．
类型二 平面与平面垂直的判定
例2 如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.
【证明】 证法一：利用定义证明．
∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
∴△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
如图，取BC的中点D，连接AD，SD，
则AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．
在Rt△BSC中，
∵SB＝SC＝a，∴SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a.
在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，
即二面角A－BC－S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
证法二：利用判定定理．∵SA＝AB＝AC，
∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
∵△BSC为直角三角形，
∴A在△BSC上的射影D为斜边BC的中点．
∴AD⊥平面SBC.
又∵平面ABC过AD，
∴平面ABC⊥平面SBC.
方法一 利用定义证明，求出平面ABC与平面SBC的平面角为90 °.
方法二 利用平面与平面垂直的判定定理证明．
方法归纳
1．对平面与平面垂直的判定定理的认识
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．
2．证明平面与平面垂直的方法
根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
跟踪训练2 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
证明：平面BDC1⊥平面BDC.
证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
要证明面面垂直，需证明线面垂直，由已知证明即可．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )
A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED
解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC?平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．
答案：D
2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是( )
A．若m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，则α⊥β
C．若m⊥n，则α∥β D．若m∥n，则α∥β
解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.
答案：B
3．如图，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，连接PB，PC，则图形中互相垂直的平面有( )
A．一对 B．两对
C．三对 D．四对
解析：由PA⊥平面ABC得平面PAB⊥平面ABC，
平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥BC，
又∠ABC＝90°，
所以BC⊥平面PAB，
从而平面PBC⊥平面PAB.故选C.
答案：C
4.
如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.
答案：A
5．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
解析：∵PA⊥平面ABCD，BC，AD?平面ABCD，
∴PA⊥BC，PA⊥AD.
又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.显然平面PAD与平面PBC不垂直．故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD与平面PAC的位置关系是________________________．
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.
答案：平面PBD⊥平面PAC
7．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的大小为________．
解析：如图，设S在底面内的射影为O，
取AB的中点M，
连接OM，SM，
则∠SMO为所求二面角的平面角，
在Rt△SOM中，
OM＝AD＝1，
SM＝＝，
所以cos∠SMO＝＝，
所以∠SMO＝45°.
答案：45°
8．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，b?β，a∥b，则α⊥β.
其中正确的命题是________(填序号)．
解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．
答案：③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A.PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝，AB＝1，BC＝2，AC＝，求二面角P－CD－B的大小．
解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝，∴BC2＝AB2＋AC2，
∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
又∵PC?平面PAC，∴PC⊥CD，
∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．
在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝，AC＝，
∴∠PCA＝45°.
故二面角P－CD－B的大小为45°.
[能力提升](20分钟，40分)
11．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )
A．60°
B．30°
C．45°
D．15°
解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故选C.
答案：C
12.
如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
解析：取BC中点M，则AM⊥BC，
由题意得AM⊥平面BDC，
∴△AMD为直角三角形，
AM＝MD＝a.
∴AD＝a×＝a.
答案：a
13．如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B，A′C，P为A′C的中点．
(1)求证：EP∥平面A′FB；
(2)求证：平面A′EC⊥平面A′BC.
证明：(1)因为E，P分别为AC，A′C的中点，
所以EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，
而EP?平面AA′B，
所以EP∥平面AA′B，即EP∥平面A′FB.
(2)因为E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，所以EF∥BC.因为BC⊥AC，所以EF⊥AE，
故EF⊥A′E，所以BC⊥A′E.
而A′E与AC相交，所以BC⊥平面A′EC.
又BC?平面A′BC，所以平面A′EC⊥平面A′BC.
14．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值．
解析：如图所示，连接OB，OO′，
则四边形OO′FB为直角梯形．过点F作FM⊥OB于点M，
则有FM∥OO′.
又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC.
可得FM＝＝3.
过点M作MN⊥BC于点N，连接FN.
可得FN⊥BC，
从而∠FNM为二面角F－BC－A的平面角．
又AB＝BC，AC是圆O的直径，
所以MN＝BMsin45°＝，
从而FN＝，可得cos∠FNM＝＝.
所以二面角F－BC－A的余弦值为.
课件28张PPT。
