2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质
知识导图
学法指导
1.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系，提供了它们之间相互转化的依据．因此，在应用时要善于运用转化的思想．
2．利用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是解题的关键．
3．学习线面垂直的性质定理时，要注意区分与其相似的几个结论．
高考导航
1.直线与平面垂直的性质定理较少单独考查，常与平行关系及面面垂直关系综合，以解答题的形式出现，分值5～7分．
2．平面与平面垂直的性质定理常与推理、计算结合，考查空间想象能力和逻辑推理能力，以选择题或解答题的其中一问的形式出现，分值5～7分.
知识点一 直线与平面垂直的性质
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行；
②作平行线
1．直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
知识点二 平面与平面垂直的性质
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
?a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直?线面垂直；
②作面的垂线
对面面垂直的性质定理的理解
1．定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
[小试身手]
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
解析：?m⊥β，故选B.
答案：B
2．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．垂直
解析：因为直线l⊥AB，l⊥AC，所以直线l⊥平面ABC，同理直线m⊥平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.
答案：A
3.
如图，BC是Rt△BAC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是( )
A．3 B．5
C．6 D．8
解析：由PA⊥平面ABC，知△PAC，△PAD，△PAB均为直角三角形，又PD⊥BC，PA⊥BC，PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD.∴AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB均为
直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.
答案：D
4．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心．
解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．
答案：垂
类型一 线面垂直的性质定理的应用
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.
【证明】 如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D ①.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1.
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D ②.
由①②可知EF∥BD1.
方法归纳
线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：
(1)a∥b，b∥c?a∥c.
(2)a∥α，a?β，β∩α＝b?a∥b.
(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?a∥b.
(4)a⊥α，b⊥α?a∥b.
跟踪训练1 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.
证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，
所以AD⊥BC.
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.
因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，
同理ED⊥FG，
又ED∩AD＝D，
所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.
线面垂直的性质定理、公理4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行．
类型二 面面垂直的性质定理的应用
例2 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，
求证：CF⊥平面BDE.
【证明】 如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.
由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.
又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF，CF?平面ACEF，
所以BD⊥CF.
又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.
方法归纳
(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．
(2)证明线面垂直的常用方法：
①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α?a⊥α.
跟踪训练2 在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明：如图所示，在平面PAB内作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
类型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，在几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝2EB＝4.
(1)证明：BD∥平面PEC；
(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.
【证明】 (1)如图，连接AC交BD于点O，取PC的中点F，连接OF，EF.
∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC的中点，∴OF∥PA，且OF＝PA.
∵EB∥PA，且EB＝PA，∴EB∥OF，且EB＝OF，
∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD.
又EF?平面PEC，BD?平面PEC，∴BD∥平面PEC.
(2)如图，连接PB，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，∴△EBA∽△BAP，
∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE.
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面APEB，∴平面ABCD⊥平面APEB.
∵BC⊥AB，平面ABCD∩平面APEB＝AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE.
又BC∩PB＝B，BC?平面PBC，PB?平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.∵G为BC上的动点，∴PG?平面PBC，∴AE⊥PG.
(1)利用长度关系构造平行四边形，证出线线平行，进而得线面平行．
(2)利用垂直关系的相互转化证明线线垂直．
方法归纳
空间线线垂直、线面垂直、面面垂直是重点考查的位置关系，证明时一般是已知垂直关系考虑性质定理，求证垂直关系考虑判定定理．
跟踪训练3 如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解析：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，CE?平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1.
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又因AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
又CD?平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.
(1)由面面垂直的性质得线面垂直，再求CD的长．
(2)当△ADB转动时，分D在平面ABC内和外2类．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a?γ，b?γ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l?α，l?β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．故选D.
答案：D
2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )
A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交
C．a⊥b D．a与b不一定垂直
解析：∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′，
∵a⊥α，且b′?α，∴a⊥b′，
∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面．
答案：C
3．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．垂直
解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.
答案：A
4．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
解析：A项中缺少了条件l?α，故A错误．B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．
答案：D
5．PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于( )
A．5 B．5
C．5 D．20
解析：∵PA＝PB＝PC，
∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心．
又△ABC为直角三角形，
∴O为斜边BA的中点．
在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴PO＝＝5.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，所以AC⊥BD.
答案：菱形
7．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
解析：由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.
答案：5
8．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.
解析：在三棱锥P－ABC中，
因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.
因为EF?平面PAC，所以EF⊥AB，
因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，
所以E是PC的中点，所以＝1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
证明：(1)因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC，
所以ON∥CD∥AB.
所以ON∥AM.
又由(1)知MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形．
所以ON＝AM.
因为ON＝AB，所以AM＝AB.
所以M是AB的中点．
10.
如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)如图所示，连接BD.
因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，
因为G是AD的中点，
所以BG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD.
所以BG⊥平面PAD.
(2)连接PG.
因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，
而PG∩BG＝G，
PG?平面PBG，
BG?平面PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又因为PB?平面PBG，
所以AD⊥PB.
[能力提升](20分钟，40分)
11．[2019·南昌月考]
如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：在四面体ABCD中，∵AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD，又AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABD，又平面ABC∩平面ABD＝直线AB，故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上．
答案：A
12．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是__________________．
解析：因为平面PAC⊥平面PBC，
AC⊥PC，AC?平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC.
所以AC⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A，B两点)．
答案：以AB为直径的圆(除去A，B两点)
13.
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
14．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝4，D，E分别是AB，BC边的中点，沿DE将△BDE折起至△FDE，且∠CEF＝60°.
(1)求四棱锥F－ACED的体积；
(2)求证：平面ADF⊥平面ACF.
解析：(1)∵D，E分别是AB，BC边的中点，∴DE∥AC且DE＝AC＝1，又AC⊥BC，∴DE⊥BC.依题意得，DE⊥EF，BE＝EF＝2.
于是?DE⊥平面CEF.
∵DE?平面ACED，∴平面ACED⊥平面CEF.
过F点作FM⊥EC于M，则
?FM⊥平面ACED，
又∵∠CEF＝60°，CE＝EF，∴△CEF为正三角形，
∴FM＝，
∴梯形ACED的面积S＝(AC＋ED)×EC＝×(2＋1)×2＝3，
∴四棱锥F－ACED的体积V＝Sh＝×3×＝.
(2)证法一 如图，设线段AF，CF的中点分别为N，Q，连接DN，NQ，EQ，则NQ∥AC，NQ＝AC，
又由(1)知DE∥AC且DE＝AC，
∴DE綊NQ，∴四边形DEQN是平行四边形，∴DN∥EQ.
由(1)知△CEF是等边三角形，
∴EQ⊥FC.
由(1)知DE⊥平面CEF，
又EQ?平面CEF，
∴DE⊥EQ，∴AC⊥EQ.
于是?EQ⊥平面ACF.
∴DN⊥平面ACF.
又∵DN?平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF.
证法二 连接BF，
由(1)知△CEF是边长为2的等边三角形．
∵BE＝EF，∠CEF＝60°，∴∠EBF＝∠CEF＝30°，
∴∠BFC＝90°，即BF⊥FC.
又∵DE⊥平面BCF，DE∥AC，∴AC⊥平面BCF.
∵BF?平面BCF，∴AC⊥BF.
又∵FC∩AC＝C，∴BF⊥平面ACF.
又∵BF?平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF.
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