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华师大版数学八年级角平分线教学设计
课题 角平分线 单元 13.5.3 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 探索并掌握角平分线的性质； 探索并掌握角平分线的判定； 利用角平分线的性质和判定解决问题；
重点 掌握角平分线的性质和判定
难点 掌握角平分线的性质和判定
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习1、如图，BP平分∠ABC，PC平分∠ACB，若∠A＝64°，则∠BPC＝ ；2、如图，CE平分∠ACD，若AB?CE，AB＝9cm，AC＝10cm，则BC＝ ；提出问题 角平分线有哪些性质呢？ 动口 动口 动脑 巩固 引出新课
讲授新课 探索角平分线的性质探索：我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点有。将∠AOB沿OC对折，我们发现PD和PE的怎样的关系？ 论证. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. 求证：PD＝PE.分析： 图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE. 证明：在ΔPDO和ΔPEO中， ∵∠AOC＝∠BOC（角平分线的定义）， ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）， OP＝OP（公共边）， ∴ΔPDO和ΔPEO（AAS）， ∴PD＝PE（全等三角形对应边相等）. 角平分线的性质定理 文字表述：角平分线上的点到角两边的距离相等. 图形表述：符号表述：∵点P是∠AOB的平分线OC上一点（已知）， PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ∴PD＝PE（角平分线的性质）. 二、角平分线的判定 探索：填表 条件 结论 性质定理 逆命题 逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 这个命题是真命题吗？ 论证： 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上.分析：为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明RtΔQDO≌RtΔQEO，从而得到∠AOQ＝∠BOQ. 证明：过点O、Q作射线OQ.∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）， 在RtΔQDO和RtΔQEO中， ∵OQ＝OQ（公共边）， QD＝QE（已知）， ∴RtΔQDO≌RtΔQEO（HL）， ∴∠AOQ＝∠BOQ（全等三角形的对应角相等）， ∴点Q在∠AOB的平分线上. 角平分线的判定定理 文字表述：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 图形表述：符号表述：∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知），∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线的判定定理）。 三、应用 证明 例1、求证：三角形的三条角平分线交于一点. 已知：在ΔABC中，AD、BE、CF是角平分线； 求证：AD、BE、CF交于点O.分析：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了. 证明：作OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，OM⊥AB于M.∵设ΔABC的角平分线AD和BE交于点O（已知）， ∴OH＝OM，OG＝OM（垂直平分线的性质）， ∴OH＝OG（等量代换）， ∴点O在∠ACB的平分线CF上（角平分线的判定）. 因此，三角形三条角平分线交于一点，这点到三条边的距离相等，这个点叫做三角形的内心. 作图 例2、如图，已知∠AOB和M、N两点； 求作：点P，使点P到∠AOB两边的距离相等，PM＝PN. 分析：点P到∠AOB两边的距离相等，则点P在∠AOB的角平分线上；PM＝PN，则点P在线段MN的垂直平分线上；作法： 第一步：作∠AOB的平分线OC； 第二步：连结MN，作线段MN的垂直平分线DE； 第三步：OC和DE交于点P； 点P就是所求作的点.四、课堂练习 1、如图，点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA于点D，PD＝5cm，OD＝8cm，则点P到OB的距离是（ ） A、3cm B、5cm C、8cm D、11cm 2、如图，在ΔABC中，∠A＝90°，AD＝8cm，CD＝10cm，AB＝24cm，BD平分∠ABC，则BC＝ ； 四、布置作业 课本P98页练习第1、2题； 课本P99页习题13.5第3、4、5题； 动口 动脑 动口 动脑 动口 动口 动口 动口 动脑 动口 动口 动脑 动口 动脑 动口 动口 动手 体验角平分线的性质 论证 三种表述 复习写逆命题的方法 三种表述 规范格式 规范格式 巩固
课堂小结 学生小结后，教师小结：这节课学习了角平分线的性质定理和判定定理.
板书
三、应用
角平分线的性质定理
二、角平分线的判定定理
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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(共24张PPT)
角平分线
数学华师大版 八年级上
新知导入
一、复习
1、如图，BP平分∠ABC，PC平分∠ACB，若∠A＝64°，则∠BPC＝ ；
124°
新知导入
一、复习
2、如图，CE平分∠ACD，若AB?CE，AB＝9cm，AC＝10cm，则BC＝ ；
10cm
新知导入
一、提出问题
角平分线有哪些性质呢？
新知讲解
一、探索角平分线的性质
探 索
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点有。将∠AOB沿OC对折，我们发现PD和PE的怎样的关系？
新知讲解
一、探索角平分线的性质
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.
求证：PD＝PE.
逻辑推理
分析：
图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE.
新知讲解
一、探索角平分线的性质
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.
求证：PD＝PE.
逻辑推理
证明：在ΔPDO和ΔPEO中，
∵∠AOC＝∠BOC（角平分线的定义），
∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义），
OP＝OP（公共边），
∴ΔPDO和ΔPEO（AAS），
∴PD＝PE（全等三角形对应边相等）.
新知讲解
一、探索角平分线的性质
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
图形表述
符号表述
∵点P是∠AOB的平分线OC上一点，
PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴PD＝PE（角平分线的性质）.
新知讲解
二、角平分线的判定
探 索
填表
点在角平分线上
点在角平分线上
点到角两边的距离相等
点到角两边的距离相等
条件 结论
性质定理
逆命题
新知讲解
逆命题
性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
二、角平分线的判定
新知讲解
逻辑推理
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
分析：
为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明RtΔQDO≌RtΔQEO，从而得到∠AOQ＝∠BOQ.
二、角平分线的判定
新知讲解
逻辑推理
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
证明：过点O、Q作射线OQ.
∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义），
在RtΔQDO和RtΔQEO中，
∵OQ＝OQ（公共边），
QD＝QE（已知），
∴RtΔQDO≌RtΔQEO（HL），
二、角平分线的判定
新知讲解
逻辑推理
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
∴∠AOQ＝∠BOQ（全等三角形的对应角相等），
∴点Q在∠AOB的平分线上.
二、角平分线的判定
新知讲解
二、角平分线的判定
角平分线的判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
图形表述
符号表述
∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）
∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线的判定定理）
新知讲解
三、应用
证 明
例1、求证：三角形的三条角平分线交于一点.
已知：在ΔABC中，AD、BE、CF是角平分线；
求证：AD、BE、CF交于点O.
分析：
要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.
新知讲解
三、应用
证 明
例1、求证：三角形的三条角平分线交于一点.
已知：在ΔABC中，AD、BE、CF是角平分线；
求证：AD、BE、CF交于点O.
证明：作OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，OM⊥AB于M.
∵设ΔABC的角平分线AD和BE交于点O（已知），
∴OH＝OM，OG＝OM（垂直平分线的性质），
∴OH＝OG（等量代换），
∴点O在∠ACB的平分线CF上（角平分线的判定）
新知讲解
作 图
例2、如图，已知∠AOB和M、N两点；
求作：点P，使点P到∠AOB两边的距离相等，PM＝PN.
三、应用
分析：
点P到∠AOB两边的距离相等，则点P在∠AOB的角平分线上；PM＝PN，则点P在线段MN的垂直平分线上；
新知讲解
作 图
例2、如图，已知∠AOB和M、N两点；
求作：点P，使点P到∠AOB两边的距离相等，PM＝PN.
三、应用
作法：
第一步：作∠AOB的平分线OC；
第二步：连结MN，作线段MN的垂直平分线DE；
第三步：OC和DE交于点P；
点P就是所求作的点.
课堂练习
1、如图，点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA于点D，PD＝5cm，OD＝8cm，则点P到OB的距离是（ ）
A、3cm B、5cm C、8cm D、11cm
B
课堂练习
2、如图，在ΔABC中，∠A＝90°，AD＝8cm，CD＝10cm，AB＝24cm，BD平分∠ABC，则BC＝ ；
30cm
课堂总结
这节课有哪些收获？
角平分线
性质定理
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
互
逆定理
作业布置
1、课本P98页练习第1、2题；
2、课本P99页习题13.5第3、4、5题；
谢谢
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