人教版数学九年级上册第二十五章《概率初步》
复习巩固专讲专练
章 末 知 识 复 习
类型一 概率的意义及简单计算
要点简介：1.概率的意义；2.概率的简单计算；3.用频率估计概率.
经典例题1 已知一个口袋中装有7个颜色不同，其他都相同的球，其中3个白球、4个黑球.
(1)求从中随机取出一个球是黑球的概率.
(2)若往口袋中再放入x个黑球后从口袋中随机取一个球是白球的概率是，求代数式÷(x＋1－)的值.
解析：(1)根据黑球的个数为4，小球总数为7，利用黑球个数除以总数得出概率即可；(2)利用概率公式求出x的值，进而化简代数式后代入求值即可.
解：(1)P(取出一个球是黑球)＝.
(2)设往口袋中再放入x个黑球后从口袋中随机取出一个球是白球的概率是，即P(取出一个球是白球)＝＝.
解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解.
∵原式＝÷
＝·
＝，∴当x＝5时，原式＝.
类型二 用列举法计算概率
要点简介：用列表法或画树状图法求概率.
经典例题2 在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取了不同的摸取方法，分别是：
小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机地摸取一个小球，记下标号；
小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机地摸取一个小球，记下标号.
(1)用画树状图法(或列表法)分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；
(2)分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率.
解析：(1)首先根据题意画出树状图(或列表)，然后由画树状图(或列表)求得所有等可能的结果，注意是放回还是不放回；
(2)根据(1)可求得小明两次摸球的标号之和等于5有4种情况，小强两次摸球的标号之和等于5有4种情况，然后利用概率公式求解即可.
解：(1)方法1：画树状图如图.
方法2：列表如下：
小明：
第1次
第2次
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
小强：
第1次
第2次
1
2
3
4
1
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(2)由树状图(或列表)可知：
小明摸取小球，可能出现的结果有16种，它们出现的可能性相等.
其中满足标号之和为5(记为事件A)的结果有4种，即(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(A)＝＝；
小强摸取小球，可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等.
其中满足标号之和为5(记为事件B)的结果有4种，即(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(B)＝＝.
点拨：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意用列表法或画树状图法可以不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，用到的要点：概率＝所求情况数与总情况数之比.
综 合 检 测
一、选择题
1. 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是( )
A. 摸出的是3个白球
B. 摸出的是3个黑球
C. 摸出的是2个白球、1个黑球
D. 摸出的是2个黑球、1个白球
2. 在英文单词“parallel”(平行)中任意选择一个字母是“a”的概率为( )
A. B. C. D.
3. 某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是( )
A. B. C. D.
4. 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆门票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是( )
A. B. C. D.
5. 2019年“五一”期间，小明与小亮准备从世界之窗、欢乐谷、东部华侨城三个景点中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两人抽到同一景点的概率是( )
A. B. C. D.
6. 一个不透明的盒中装有红、黄、绿小球各1个(小球形状、大小、质地一样)，从盒中随机地摸取1个小球然后放回，再随机地摸取1个小球，则两次摸取的小球中只有一次是红球的概率为( )
A. B. C. D.
7. 在－2，－1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝(x－m)2＋n的顶点在坐标轴上的概率为( )
A. B. C. D.
8. 以下说法合理的是( )
A. 小杰在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B. 抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是的意思是每6次就有1次掷得6
C. 某彩票的中奖概率是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖
D. 在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学统计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51
二、填空题
9. 一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有 个红球.
10. 如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形(每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同)，使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 .
11. 孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”从这句话中任选一汉字，恰好选到汉字“之”的概率是 .
12. 从2，3，4这三个数字中任取两个数字组成一个两位数，其中能被3整除的两位数的概率是 .
13. 一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放在书架的同一层上，这三册书从左向右恰好成上、中、下顺序的概率为 .
14. 已知一个围棋盒子中装有7颗围棋子，其中3颗白棋子，4颗黑棋子.若往盒子中再放入x颗白棋子和y颗黑棋子，从盒子中随机取出一颗白棋子的概率为，则y与x之间的关系式是 .
15. 点P的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 .
16. 从数－2，－，0，4中任取一个数记为m，再从这四个数中，任取一个数记为n.若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限的概率是 .
三、解答题
17. 小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形.转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜.这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
18. A，B两组卡片共五张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有数字3，5，它们除数字外没有任何区别.
(1)随机地从A中取一张，求抽到数字为2的概率；
(2)随机地分别从A，B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
19. 在“书香八桂，阅读圆梦”读书活动中，某中学设置了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目(每人只参加一个项目)，九(2)班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图(图1)和扇形统计图(图2).根据图表中的信息解答下列各题：
图1 图2
(1)请求出九(2)班全班人数；
(2)请把折线统计图补充完整；
(3)南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率.
参考答案
1. A 2. C 3. A 4. B 5. A 6. B 7. A 8. D
9. 6
10.
11.
12.
13.
14. y＝3x＋5
15.
16.
17. 解：所有可能的结果列树状图如图所示：
由树状图知，共有6种等可能的结果，其中两次数字之积大于2的结果有3种，故P(小明胜)＝＝，P(小亮胜)＝1－＝.∵P(小明胜)＝P(小亮胜)，∴这个游戏对双方公平.
18. 解：(1)P(数字2)＝.
(2)这样的游戏规则对双方不公平.理由：画树状图如下：
一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P(甲获胜)＝＝，乙获胜的情况有2种，P(乙获胜)＝＝＜，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平.
19. 解：(1)全班总人数为＝48(人).
(2)由(1)可知：九(2)班全班人数为48人.从扇形统计图中可以得到国学诵读占总人数的百分比为50%，∴国学诵读的人数为48×50%＝24(人)，书法的人数为48－6－12－24＝6(人)，描点、连线，补充完整的折线统计图如图所示：
(3)画树状图如下：
列表如下：
南南
宁宁
书法
演讲
国学诵读
征文
书法
√
演讲
√
国学诵读
√
征文
√
南南和宁宁参加比赛一共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相等，而他们参加比赛项目相同的情况有4种，则P(南南和宁宁参加相同比赛项目)＝.
