(共14张PPT)
第一章特殊平行四边形
九年级数学北师版·上册
第1课时
菱形的性质
1
菱形的性质与判定
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
思考
如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
菱形
邻边相等
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形是特殊的平行四边形.
注意：平行四边形不一定是菱形.
问题1
菱形是轴对称图形吗 如果是，指出它的对称轴.
是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
问题2
根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上
有什么关系 菱形的两条对角线有什么位置关系
猜想1
菱形的四条边都相等.
猜想2
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB
=
CD，AD
=
BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD，
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
例1
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)
AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)
AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
（2）∵AB
=
AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB
=
OD
（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA.
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
例2
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD.
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB
.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB=AE，∴∠ABC＝∠AEB.
∴∠ABC=∠DAE.
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA
，
∴△AOD≌△BEA
.
∴AO＝BE
.
例3
如图，点E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于点O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
菱形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的所有性质外，还有一般平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每
条对角线平分一组对角.
角：对角相等，邻角互补.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
菱形的性质
边
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是
( )
A.10
B.12
C.15
D.20
C
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC，BD相交于O点，点E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
第1题图
第2题图
6cm
3.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
C
4.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于
（ ）
A.18
B.16
C.15
D.14
B(共19张PPT)
九年级数学北师版·上册
第1课时
矩形的性质
第一章特殊平行四边形
2
矩形的性质与判定
观察以上图形：思考这是哪种四边形呢？
两组对边
分别平行
平行
四边形
四边形
平ping行四边形的性质有：
边：
对边平行且相等
角：对角相等；邻角互补
对角线：对角线互相平分
回忆
平行四边形是中心对称图形.
平行四边形的性质有：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
四边形
两组对边
分别平行
平行
四边形
一个角
是直角
∟
矩形
矩形的定义：
D
C
B
A
矩形是轴对称图形吗？如果是，那么有几条对称轴？
轴对称图形
一、矩形与平形四边形之间的关系
平行四边形
矩形
即：矩形是一种特殊的平行四边形.
矩形还有哪些特殊性质？
矩形有哪些性质？
具有平行四边形的所有性质
边：矩形的对边平行且相等
角：矩形对角相等；邻角互补
对角线：矩形对角线互相平分
猜想1、矩形的四个角都是直角．
矩形的特殊性质：
性质1、矩形的四个角都是直角．
A
B
C
D
如图：四边形ABCD是矩形，∠A=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∠A=90°，∴∠A=∠C=90°，
∠A+∠B=180°.
∴∠B=90°.
∴∠D=∠B=90°.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
已知：如图，矩形ABCD.
A
D
B
C
∴
AC=BD.
∵四边形ABCD是矩形,
证明：
∴
∠ABC=
∠DCB
,
AB=DC.
∴
△ABC≌△DCB(SAS).
在△ABC和△DCB中,
AB=DC
∠ABC=
∠DCB
BC=CB
∵
求证：AC=BD.
：
矩形的对角线相等．
性质2
矩形的特殊性质
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形,
AC
=
BD.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
矩形的性质
边的性质：
矩形的对边平行且相等.
角的性质：
矩形的四个角都是直角.
对角线的性质：
矩形的对角线相等，且互相平分.
A
B
C
D
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.下面性质中，矩形不一定具有的是（
）
A.对角线相等
B.四个角相等
C.是轴对称图形
D.对角线互相垂直
A
D
3、如图
,
在矩形ABCD中
,
AC与BD相交于点O
,
AB=3cm
,
BC=4cm
,
则AC=
cm
,
BO=
cm
,
矩形的周长为
cm,
矩形的面积为
cm2.
矩形的两条邻边和对角线构成一个
三角形，
是斜边.
求矩形的边长和对角线的问题可转化为直角三角形，利用
解决.
直角
对角线
勾股定理
5
14
12
A
B
C
D
E
如图，设矩形的对角线AC与BD相交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？为什么？
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，AE=EC=
∴AE=
BD
矩形的性质
边的性质：
矩形的对边平行且相等.
角的性质：
矩形的四个角都是直角.
对角线的性质：
矩形的对角线相等，且互相平分.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
B
A
D
C
1.已知：如左图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长.
O
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等）.
又∵OA=OC=
AC，
OB=OD=BD，
∴OA=OD，∵∠AOD=120°，
∴
∠
ODA=
∠OAD=
=30°，
又
∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）.
∴BD=2AB=2×2.5=5
(
cm
)
.
你还有其他解法吗？
B
A
D
C
已知：如左图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长.
O
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等），
∴AO=BO，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°
∴AB=BO=AO=2.5cm
∴AC=BD=2AO=5cm
2.
如图：将一个长方形ABCD一边对折，使B点落在AD上交AD于F点，折痕CE交AB于E点，AB＝8，AD＝10，求三角形AEF的面积．
解：由翻折的性质可知：
BE＝EF，BC＝CF＝10．
在Rt△DFC中，FD＝
＝
＝6，
∴AF＝4．
设AE＝x，则EF＝BE＝8﹣x．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴S△AEF＝
AE AF＝
×3×4＝6．
3.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，求OC的长．(共12张PPT)
第一章特殊的平行四边形
九年级数学北师大版·上册
第3课时
菱形的性质与判定的综合应用
1
菱形的性质与判定
1.菱形的性质
（Ａ）菱形的四条边都相等
（Ｂ）菱形的对角线互相垂直
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.菱形的判定
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.四条边都相等的四边形是菱形
引例：四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求:
（1）对角线AC的长度为多少cm；
（2）菱形ABCD的面积为多少cm2．
ABCD=S△ABD+S△BCD=
BD
·OA+BD
·
OC
=
AC×BD
【菱形的面积公式】
菱形是特殊的平行四边形，
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC·AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外，利用对角线能
计算菱形的面积公式吗
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
S菱形
菱形ABCD两条对角线BD，AC的长分别是6cm和8cm，求菱形的面积.
C
B
D
A
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
∴
答：菱形的面积是24cm2.
=
=
24cm2.
引例：四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求:
（1）对角线AC的长度为多少cm；
（2）菱形ABCD的面积为多少cm2．
解：
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BO=OD，
∴BO=5cm
由勾股定理得：OC=cm
∴AC=2OC=24cm.
引例：四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求:
（1）对角线AC的长度为多少cm；
（2）菱形ABCD的面积为多少cm2．
解：
（2）S菱形ABCD=
10=120cm2
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
3cm
2、菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则菱形的面积是（
）
C
A.10
B.7
C.
24
D.48
3
如图，在 ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为点O，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
解：证明：∵在 ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
菱形的面积的计算方法
E
S菱形=BC·AE=
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
A
B
C
D
E
F
1、如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB，CF⊥AD.
则CE
CF，BE
DF.
＝
＝
2、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC
交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
∴
□AEDF是菱形.
证明：∵DE∥AC,
DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵
DE∥AC,
∴∠2=∠3.
∵
AD是△ABC的角平分线,
∴
∠1=∠2.
∴AE=DE.
∴
∠1=∠3.(共17张PPT)
九年级数学北师版·上册
第2课时
正方形的判定
授课人：XXXX
第一章特殊平行四边形
3
正方形的性质与判定
新课引入
问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
知识讲解
问题2：你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
五个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM
,
AN上取点B
,
D
,使AB=AD
,作DC∥AB
,
BC∥AD
,得四边形ABCD.
A
M
N
D
B
C
问题1：上面所画的四边形ABCD是正方形吗？为什么？
知识讲解
知识讲解
想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能剪出一个正方形？
（1）
（2）
（3）
（4）
知识讲解
菱形
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
知识讲解
1.
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
定理
正方形判定的两条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件
菱形条件
(1)
(2)
一个直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
知识讲解
例1：如图,在矩形ABCD中,
BE平分∠ABC
,
CE平分∠DCB
,
BF∥CE
,
CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一组邻边相等得出是菱形；最后由一个直角可得正方形.
45°
45°
知识讲解
F
A
B
E
C
D
证明:
∵
BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴
∠ABC
=
90°,
∠DCB
=
90°,
∵BE平分∠ABC,
CE平分∠
DCB,
∴∠EBC
=
45°,
∠ECB
=
45°,
∴
∠
EBC
=∠
ECB
.
∴
EB=EC,∴□
BECF是菱形
.
在△EBC中
∵
∠EBC
=
45°,∠ECB
=
45°,
∴∠BEC
=
90°,
∴菱形BECF是正方形.
知识讲解
例2：如图所示,在Rt△ABC中,
∠C=90°
,
∠BAC
,
∠ABC的平分线交于点D
,
DE⊥BC于点E
,
DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形.
证明:
如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC
,
DE⊥BC
,
∴∠DFC=∠DEC=90°.
又∠C=90°,
∴四边形CEDF是矩形
（有三个角是直角的四边形是矩形）.
∵AD平分∠BAC
,
DF⊥AC
,
DG⊥AB.
∴DF=DG.
同理可得
DE=DG
,
∴DE=DF.
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
C
E
B
A
F
D
G
强化训练
如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠COH
=45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO
≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
B
O
E
H
G
F
强化训练
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO
,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
知识讲解
有一个角是90°
（或对角线相等）
有一组邻边相等
（或对角线互相垂直）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分且相等）
有一个角是90°
（或对角线相等）
有一对邻边相等
（或对角线互相垂直）
1.下列命题正确的是（
）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个角、四条边都相等的四边形一定是（
）
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
D
A
目标测试
3.如图,在四边形ABCD中,
AB=BC
,对角线BD平分 ABC
,
P是BD上一点,过点P作PM AD
,
PN CD
,垂足分别为M,
N.
(1)
求证： ADB= CDB;
(2)
若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB
=
BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD
(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠MDP=45°.
∴DM=PM.
∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.(共20张PPT)
九年级数学北师版·上册
第3课时
矩形的性质与判定的综合应用
第一章特殊平行四边形
2
矩形的性质与判定
问题1:
矩形有哪些性质？
①是轴对称图形;
②四个角都是直角;
③对角线相等且互相平分.
①定义：有一个角是直角的平行四边形;
②对角线相等的平行四边形;
③有三个角是直角的四边形.
问题2:
矩形的判定方法有哪些？
复习引入
知识讲解
分析：在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，
BE
︰
ED=1︰3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
例1
知识讲解
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE
︰
ED=1
︰
3，
∴BE
︰
OB=1
︰
2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∴AE=
AD=3.
点评:此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断
四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
例2
知识讲解
证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
分析：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形.
知识讲解
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AC=DE，AE=CD．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形.
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，
并证明；
分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知AC=DE；结合已知条件可以推知AB=DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形.
知识讲解
解：DF∥AB，DF=
AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF=
AB.
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF=
AB.
点评:此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
知识讲解
如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比
为3∶1，求
的值．
例3
知识讲解
(1)求证：CM＝CN；
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
由折叠知∠CNM＝∠ANM，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CN＝CM.
知识讲解
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求
的值．
解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，
∴CM∶DN＝3∶1，
设DN＝x，则CM＝3x，
过点N作NK⊥BC于点K，
∵DC⊥BC，∴NK∥DC，
又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x，
由(1)知CN＝CM＝3x，
∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2，
K
知识讲解
1、已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成的锐角的度数是（
）.
A、100°
B、90°
C、80°
D、70°
2、矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20
，则矩形的对角线长为
，面积为
.
C
10
48
3、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成
一个四边形，那么这个四边形一定是（
）
A、矩形
B、菱形
C、正方形
D、等腰梯形
4、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，
若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，
AE＝
cm，
则∠AOD
=
，
DE＝
cm.
A
120°
3
5、已知：如图，在
ABCD
中，E，F分别为边
AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的
延长线于G．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若四边形
BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAE=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=
CD．
∴AE=CF．
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴DE＝BF.
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CG．
∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE．
∵点E是AB中点，
∴AE=DE=EB.
∴∠DAE=∠ADE，∠EDB=∠EBD.
∴∠ADE+∠EDB=.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形AGBD是矩形.
1、定义：
有一个角是
的
叫做矩形.
2、性质和判定：
性 质
判 定
边
角
对角线
同平行四边形
平行四边形
直角
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
3、对角线相等的平行四边形.
2、有三个角是直角的四边形.
1、有一个角是直角的平行四边形.
B
C
D
∟
∟
∟
∟
O
A
1、如图，P是矩形ABCD内一点，
PA＝3，PD＝4，PC＝5，
则PB＝
.
解：过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H．
设AG=DH=a，BG=CH=b，AE=BF=c，DE=CF=d，
则AP2=a2+c2，CP2=b2+d2，
BP2=b2+c2，DP2=d2+a2
于是AP2+CP2=BP2+DP2，又PA=3，PB=4，PC=5，
故DP2=AP2+CP2-BP2=32+52-42=18，
则DP=3
故本题答案为3
．
2、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落
在BC边上的F点处.
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；
（2）若AB＝6cm，AD＝10cm，
求线段CE的长.
解：(1)∵∠BAF=60°，
∴∠DAF=30°，
又∵AF是AD折叠得到的，
∴△ADE≌△AFE，
∴∠DAE=∠EAF=∠DAF=15°．
1、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落
在BC边上的F点处.
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；
（2）若AB＝4cm，AD＝5cm，
求线段CE的长.
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=4，∠B=∠C=90°.
由题意得AF=AD=5，EF=DE=x，EC=4-x.
由勾股定理，得BF2=52-42，∴BF=3，CF=5-3=2.
在△EFC中，由勾股定理得x2=22+（4-x）2，
解得：x=2.5，EC=4-2.5=1.5．(共10张PPT)
九年级数学北师版·上册
第2课时
矩形的判定
第一章特殊平行四边形
2
矩形的性质与判定
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形性质
角
边
对角线
对称性
四个角都
是直角
对边平行
且相等
互相平分
且相等
是轴对称
图形
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
C
B
D
∵∠ACB=90°AD
=
BD
∴CD
=
AB
复习与回顾
判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
已知：在
中，AC
=
BD.
ABCD
ABCD
求证：
是矩形.
证明：∵AB
=
DC，BC
=
CB，AC
=
DB，
∴
△ABC≌△DCB
，
∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD，
∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°，
∴
∠ABC
=
90°，
∴
ABCD是矩形.
判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
已知：在四边形ABCD中，
∠A=
∠B=
∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵
∠A=
∠B=
∠C=90°，
∴
∠A
+
∠B
=
180°，
∠B
+
∠C
=
180°，
∴AD∥BC，
AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵
∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
例如：
∠A=
∠B=
∠C=90°
四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
例如：
ABCD
AC
=
BD
ABCD是矩形
判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
例题
已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB
=
4cm，求平行四边形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
S
ABCD
∴
=AB·BC
=
4×4
=16cm2
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC
=
2OA，BD
=
2OB.
∵△AOB是等边三角形，
∴OA
=
OB，
∴AC
=BD，
∴
ABCD是矩形.
∴AO=BO=AB=4cm
在Rt△ABC中，∵AB
=
4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC=cm)
1.
对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形．
2.
两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形．
3.
有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形．
4.
有三个角都相等的四边形是矩形．
5.
具备条件____的四边形是矩形．
A．两条对角线相等
B．对角线互相垂直
C．一组对角是直角
D．有三个角是直角
6.
能够判断一个四边形是矩形的条件是
A．对角线相等
B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等
D．对角线垂直且相等
判断题
选择题
（
）
（
）
（
）
（
）
[
]
[
]
课堂练习
×
√
√
×
C
D
小结：
提示：判定一个四边形是矩形，应先认清是任意四边形，还是平行四边形，然后选择适当的方法判定.
平行四边形的判定
有一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
有三个角是直角
对角线互相平分且相等
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，已知BD＝CD，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE延长线于点F，连接AD，BF，求证：四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDB，
∵E为AB的中点，∴EA＝EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴AF＝BD，∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形.
2．下列说法正确的有（ ）
①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形．①③⑤错．
有一个角为直角的平行四边形为矩形．②④⑥正确．故选：C．
C(共19张PPT)
九年级数学北师版·上册
第1课时
正方形的性质
授课人：XXXX
第一章特殊平行四边形
3
正方形的性质与判定
活动:观察这些图片，你有什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
新课引入
正方形的定义
一
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.
问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？
正方形
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
问题2：经过变化后得到的特殊四边形是什么四边形？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形
正方形的性质探究和证明
二
A
B
C
D
填一填：
角：
边：
对角线：
对称性：
四个角都是直角.
四条边相等.
对角线相等且互相垂直平分.
a
a
a
a
轴对称图形（4条对称轴）.
1.
1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
定理
知识讲解
已知：如右图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°,
AB=AD
.
（正方形的定义）
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形,
（矩形的定义）
四边形ABCD是菱形.(菱形的定义)
∴∠A=∠B
=∠C
=∠D
=
90°,
AB=
BC=CD=AD.
定理证明
知识讲解
已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC,BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∴AO=BO=CO=DO.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题.
知识讲解
想一想：
正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形
菱形
正方形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
归纳
知识讲解
归纳结论
正方形
对角线
边
边
对角线
对角线
角
对边平行且相等
相互平分
相等
四个角相等都是90°
相互垂直且
平分对角
四边相等
对称性
轴对称图形（4条对称轴）
知识讲解
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC延长线上一点,且CE=CF.
BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
正方形性质定理的应用
三
典例精析
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE
=90°
.
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
A
B
D
C
F
E
知识讲解
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)延长BE交DF于点M,
∵△BCE≌△DCF
,
∴∠CBE
=∠CDF.
∵∠DCF
=90°
,
∴∠CDF
+∠F
=90°.∴∠CBE+∠F=90°
,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
知识讲解
例2：如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O
,
MN∥AB
,且分别与OA
,
OB相交于点M
,
N.
求证：（1）BM
=
CN;（2）BM⊥CN.
A
B
C
D
O
M
N
证明：（1）∵MN∥AB.
∴∠1
=∠2
=∠3
=∠4
=
45°.
∴OM
=
ON.
∵OA=
OB,
∴OA-
OM
=
OB
-
ON,AM=BN.
又∵∠2=∠NBC,AB=BC.
∴△ABM
≌△BCN(SAS)
∴BM=CN.
1
2
3
4
知识讲解
A
B
C
D
O
M
N
(2)延长CN交线段MB于点Q.
∵△ABM≌△BCN.
∴∠6=∠8.
∵∠OCB
=∠ABO
=45°.
∴∠5=∠7.
又∵∠ONC=∠QNB.
∴180°-∠5
-∠ONC
=
180°-∠7
-∠QNB,
∠CON
=∠NQB
=
90°.
∴BM⊥CN.
Q
5
7
6
8
知识讲解
1、正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是（
）
A.内角和为360°
B.对角线平分内角
C.对角线相等
D.对角线互相垂直平分
2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（
）
A.对边平行且相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.四个角都是直角
C
B
强化训练
3、如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
（2）延长BE交DF于点M(如图).
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°，
∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
M
强化训练
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
1．在正方形ABCD中,∠ADB=
,∠DAC=
,
∠BOC=
.
2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是
.
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第1题
第2题
45°
3.如图，在正方形ABCD中，两条对角线相交于O点，OA=2，求∠AOB，∠OAB的度数及BD，AB的长.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠AOB=90°，AC=2OA=4，AC=BD.
∴∠OAB=∠BAD=×90°=45°，BD=4，
在Rt△ABC中，AB +BC =AC ，
∴AB=2.
4.如图，已知正方形ABCD
,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE
,
CE
,求∠DEC的度数.
D
A
E
B
C
解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB
=AE=BE,
∠ABE=∠BEA=∠EAB
=60°.
又∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=BC=AE=BE,
∠DAB=∠ABC=90°.
∴∠DAE=∠CBE=150°.
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.(共13张PPT)
九年级数学北师版·上册
第2课时
菱形的判定
第一章特殊平行四边形
1
菱形的性质与判定
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
3.菱形的性质
1.菱形的定义
（Ａ）菱形的四条边都相等.
（Ｂ）菱形的对角线互相垂直.
2.菱形的特征
菱形是一个轴对称图形.
我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形的性质“两条对角线互相垂直平分”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线互相垂直”是菱形所特有的性质.
由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱形.”
如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线
.
我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形呢？
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．
由此可以得到判定菱形的一种方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，我们可以证明：
四边形ABCD是菱形．
证明
∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴
BD所在直线是线段AC的垂直平分线.
∴
AB＝BC.
∴
四边形ABCD是菱形.
例1
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F，求证：四边形AFCE是菱形．
分析
要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又因为EF垂直平分AC，所以只需证OE＝OF．
证明
∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥FC.
∴∠1＝∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO＝OC.
又∵∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△AOE≌△COF.
∴
EO＝FO.
∴
四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴
四边形AFCE是菱形.
对于一个一般的四边形，能否也可以找到判定它是不是菱形的方法呢？由菱形的另一条性质“四条边都相等”，
你可能会想到：
如果一个四边形的四条边都相等，那它会不会一定是菱形？
如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD是菱形吗？
由此我们得到了判定菱形的又一种方法：
四条边都相等的四边形是菱形．
A
C
B
D
例2
已知在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
求证：四边形ABCD是菱形.
证明
∵
AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形的判定方法
1.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
Ａ.
AC⊥BD
，AC与BD互相平分
Ｂ.
AB=BC=CD=DA
Ｃ.
AB=BC，AD=CD，且AC
⊥BD
Ｄ.
AB=CD，AD=BC，AC
⊥BD
O
A
D
C
B
C
2.已知:如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF//AB，与AD相交于点F.
求证:四边形ABEF是菱形.
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF//BE，AB//CD.
∵EF//AB，∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAF.
∵AF//BE，∴∠BEA=∠EAF.
∴∠BAE=∠BEA.
∴AB=BE.
∴四边形ABEF是菱形.
