新高考湖北专用 第一章 空间几何体[必修2] 1.3.1-1.3.2 22张PPT

(共22张PPT)
第一章
空间几何体[必修2]
1.3　空间几何体的表面积与体积
1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.3.2　球的体积和表面积
1.棱柱、棱锥、棱台是由多个平面围成的几何体,沿着若干条棱剪开后,几何体的各面就可以展开在一个平面内,得到一个平面多边形,这个平面多边形就是几何体的　
.
2.棱柱的侧面展开图是由　　　　　　　构成的平面图形;棱锥的侧面展开图是由
　　　　　构成的平面图形;棱台的侧面展开图是由　　　　　　构成的平面图形.
3.多面体的表面积又称全面积,是多面体的底面积与侧面积的和,即多面体各个面的面积和.
预习探究
棱柱、棱锥、棱台的表面积
知识点一
表面展开图
平行四边形
三角形
梯形
4.几种特殊多面体的侧面积公式:
(1)S直棱柱侧=　
(c为底面周长,h为高);
(2)S正棱锥侧=　　
(c为底面周长,h为斜高);
(3)S正棱台侧=　　　　
(c'为上底周长,c为下底周长,h为斜高).
预习探究
ch
ch
(c+c')h
预习探究
1.把圆柱的侧面沿一条母线剪开,铺在平面上得一矩形,故圆柱的侧面展开图是　　　　　.
2.把圆锥的侧面沿一条母线剪开,铺在平面上得一扇形,故圆锥的侧面展开图是　　　　　.
3.由于圆台是由圆锥截得的,故其侧面展开图是　　　　
.
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
知识点二
一个矩形
一个扇形
一个扇形
预习探究
4.表面积公式:
(1)S圆柱表=　　　　　　　　　　　　
　　　
(R为底面圆的半径,l为圆柱的母线长);
(2)S圆锥表=　　　　　　　　　
(R为底面圆的半径,l为圆锥的母线长);
(3)S圆台表=　　　　　　　　　
(R为下底面圆的半径,r为上底面圆的半径,l为圆台的母线长).
5.球的表面积公式:S球=　　　　(R为球的半径).
2πR2+2πRl=2πR(R+l)
πR2+πRl=πR(R+l)
π(R2+r2+Rl+rl)
4πR2
预习探究
[探究]
根据圆柱、圆锥、圆台之间的关系,你能发现三者的表面积公式之间的关系吗
解:圆台的表面积公式为S圆台=π(r2+r'2+rl+r'l),当r'=r时,得圆柱的表面积公式S圆柱=2πr(r+l);当r'=0时,得圆锥的表面积公式S圆锥=πr(r+l).
[思考]
求圆柱、圆锥、圆台的表面积时,要求的关键量是什么
解:求圆柱、圆锥的表面积时,关键是求其母线长与底面的半径;求圆台的表面积时,关键是求其母线长与上、下底面的半径.
预习探究
1.柱体的体积公式:V柱体=　　　　(S为底面面积,h为柱体的高).
2.锥体的体积公式:V锥体=　　　　(S为底面面积,h为锥体的高).
3.台体的体积公式:V台体=　　　　　　　　　　　(S',S为上、下底面面积,h为圆台的高).
4.球的体积公式:V球=　　　　(R为球的半径).
柱体、锥体、台体、球的体积
知识点三
Sh
Sh
(S'++S)h
πR3
预习探究
[探究]
根据柱体、锥体、台体之间的关系,你能发现三者的体积公式之间的关系吗
解:台体的体积公式为V台体=(S'++S)h.当S'=S时,得柱体的体积公式V柱体=Sh;当S'=0时,得锥体的体积公式V锥体=Sh.
[讨论]
(1)将简单组合体分割成几个几何体后,其表面积如何变化 其体积呢
(2)球有底面吗 球面能展开成平面图形吗
解:(1)表面积变大了,体积不变.
(2)球没有底面,球的表面不能展开成平面图形.
考点类析
例1
(1)若圆台的高是12,母线长为13,两底面半径之比为8∶3,则该圆台的表面积为　　　　.
求几何体的表面积和侧面积
考点一
216π
考点类析
例1
(2)已知棱长均为5,底面为正方形的四棱锥S
-
ABCD如图1-3-1所示,求它的侧面积、表面积.
图1-3-1
解:∵四棱锥S
-
ABCD的各棱长均为5,∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点,连接SE,则SE⊥AB,∴S侧=4S△SAB=4×AB×SE=2×5×=25,S表=S侧+S底=25+25=25(+1).
考点类析
求几何体的体积
考点二
例2
(1)如图1-3-2所示,已知三棱柱ABC
-
A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1
-
ABC1的体积为
(　　)
A.
B.
C.
D.
A
[解析]
(1)三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=.
图1-3-2
考点类析
例2
(2)将长为a,宽为b(a>b)的长方形以其较长的边为轴旋转一周,所得柱体的体积为V1,以其较短的边为轴旋转一周,所得柱体的体积为V2,则有
(　　)
A.V1>V2
B.V1C.V1=V2
D.V1与V2的大小关系不确定
B
[解析]
(2)以长方形的较长的边为旋转轴时,所得几何体的体积V1=ab2π,以长方形的较短的边为旋转轴时,所得几何体的体积V2=a2bπ,∴V1-V2=abπ(b-a),又∵a>b,∴V1-V2<0,即V1考点类析
例2
(3)现有一个底面直径为20
cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6
cm,高为20
cm的圆锥形铅锤,铅锤完全浸没在水中.当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降
(　　)
A.0.6
cm
B.0.15
cm
C.1.2
cm
D.0.3
cm
A
考点类析
球的表面积与体积公式的应用
考点三
例3
(1)球的体积是,则此球的表面积是
(　　)
A.12π
B.16π
C.
D.
B
[解析]
(1)由πR3=,得R=2.故球的表面积为4πR2=16π.
考点类析
例3
(2)长方体共顶点的三条棱的长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是
(　　)
A.25π
B.50π
C.125π
D.100π
B
[解析]
(2)由题意知,长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为=5,所以球的半径为,所以这个球的表面积是4π=50π.故选B.
考点类析
例3
(3)将两个半径为1的小铁球熔化成一个大球,则这个大球的半径R为　　　　.
[解析]
(3)两个小铁球的体积之和为2×π×13=,即大球的体积为π×R3=,所以大球的半径为R=.
考点类析
变式
(1)表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为(　　)
A.π
B.π
C.π
D.π
[解析]
(1)如图所示,将正四面体补形成一个正方体.设正四面体的棱长为a,∵正四面体的表面积为,∴4×a2=,解得a=,∴正方体的棱长是,又∵球的直径是正方体的对角线,设球的半径是R,∴2R=×,∴R=,∴球的体积为π·=π.故选A.
考点类析
变式
(2)用一平面去截球所得截面的面积为2π,已知球心到该截面的距离为1,则该球的体积是(　　)
A.π
B.2π
C.4π
D.π
[解析]
(2)用一平面去截球所得截面的面积为2π,所以小圆的半径为,已知球心到该截面的距离为1,所以球的半径为,所以球的体积为π×()3=4π.故选C.
当堂自测
[解析]
因为三棱锥的四个面是全等的正三角形,所以S表面积=4S底面积=4×=.
1.棱长都是1的三棱锥的表面积为
(　　)
A.
B.2
C.3
D.4
A
当堂自测
[解析]因为棱台的上、下底面的面积之比为1∶9,所以其边长比为1∶3,则截去的小棱锥与原来大棱锥高的比为1∶3.设它们的高分别为h,3h,底面积分别为S,9S,则V小棱锥=Sh,V大棱锥=·9S·3h=9Sh,所以大棱锥的体积与此棱台的体积比是(9Sh)∶=27∶26.
2.已知棱台的上、下底面的面积之比为1∶9,则截得此棱台的大棱锥的体积与此棱台的体积比是
(　　)
A.27∶26
B.27∶1
C.26∶1
D.1∶27
A
当堂自测
[解析]设正方体的棱长为a,则易知它的内切球的半径为a,它的外接球的半径为a,故所求的体积之比为π∶π=1∶3.
3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为(　　)
A.1∶
B.1∶3
C.1∶3
D.1∶9
C
当堂自测
[解析]设球的半径为r,则πr3=4π,∴r3=3,∴r=,∴球的表面积S=4πr2=12π.
4.若一个球的体积为4π,则它的表面积为　　　　.