新高考湖北专用 第二章　点、直线、平面之间的位置关系[必修2] 2.1.1:25张PPT

课件25张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系[必修2]2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1　平面
几何里的平面是　　　　　,我们通常把水平的平面画成一个　　　　　,平面没有大小、厚度等.?
(1)平面的画法:水平的平面通常画成一个　　　　　　,锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍,如图4-1-1所示.?预习探究平面知识点一图2-1-1无限延展的平行四边形平行四边形(2)画出的平行四边形表示的是整个平面,需要时,可以把它延展开来,如同画直线一样,直线是可以无限延伸的,但在画直线时却只画出一条线段来表示.
(3)加“通常”两字是因为有时根据需要也可用其他平面图形来表示平面.
(4)两个相交平面的画法:当一个平面的一部分被另一个平面遮挡住时,应把被遮挡的部分用　　　　画出来或者不画,以增加立体感,如图2-1-2所示.?预习探究图2-1-2虚线预习探究 [思考] 一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分成几部分?解:一个平面把空间分成两部分;两个平面相交时,把空间分成四部分,平行时把空间分成三部分.预习探究1.在数学中我们用大写字母　　　　　　表示点,用小写字母　　　　　表示直线,平面通常用希腊字母　　　　?
来表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写英文字母来表示,如平面ABCD、平面AC等.
2.(1)点A在平面α内,记作　　　　,点B在平面α外,记作　　　　;(2)点A在直线l上,记作　　　　,点B在直线l外,记作　　　　;(3)直线l在平面α内,记作　　　　,直线l在平面α外,记作　　　　.?符号的规定知识点二A,B,C,D,…a,b,c,…α,β,γ,…A∈αB?αA∈lB?ll?αl?α预习探究[讨论] 空间中点、线、面的关系也可借助于集合来表示,在读法上是否也与代数集合中一样(属于、含于)?解:用集合语言描述几何关系时,“∈、?、∩”等符号虽来源于集合符号,但在读法上要用几何语言.例如,A∈α读作“点A在平面α内”;a?α读作“直线a在平面α内”;α∩β=l读作“平面α与β相交于直线l”.预习探究公理及表述知识点三此平面内l?α预习探究（续表）有且只有三点A,B,C确定唯一平面α有且只有一条过该点α∩β=l且P∈l预习探究[讨论] (1)两个平面的交线可能是一条线段吗?
(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗?解:(1)不可能.由公理3知,两个平面的交线是一条直线.
(2)不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.考点类析例1 (1)判断下列说法是否正确.(填“√”或“×”)
①平面就是平行四边形. (　　)
②任何一个平面图形都可以表示平面. (　　)
③平面ABCD的面积为10 cm2. (　　)
④空间图形中,后引的辅助线都是虚线. (　　)
对平面概念的理解考点一××××考点类析例1 (2)若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系可以记作(　　)
A.A∈b∈β B.A∈b?β
C.A?b?β D.A?b∈β
B(3)如图2-1-3所示,用符号语言可表述为 (　　)
A.α∩β=m,n?α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n?α,A?m,A?n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n图2-1-3A考点类析证明共点、共线问题考点二[导入] 已知两条以上直线,如何证明它们经过同一点?解: 在证明多线共点时,可先证明两条直线经过一个点,再证明其余的直线也经过这个点.考点类析例2 如图2-1-4所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C?l,直线AB∩l=M.过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过 (　　)
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
D[解析] ∵AB?γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理,点C也在γ与β的交线上.图2-1-4考点类析变式 如图2-1-5所示,平面ABD∩平面CBD=BD,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,求证:EH与FG的交点P与B,D三点共线.
证明:因为EH∩FG=P,所以P∈EH,而EH?平面ABD,所以P∈平面ABD.同理P∈平面CBD,即P是平面ABD与平面CBD的公共点.显然,点B,D是平面ABD和平面CBD的公共点.由公理3知,点B,D,P都在平面ABD和平面CBD的交线上,即B,D,P三点共线.图2-1-5考点类析 [小结] 证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再证明这一点在其余的直线上,在证明后者时,往往依据两平面的交线有且仅有一条这一公理,从而只需证明此点在两个平面的交线上.考点类析共面问题考点三[导入] 已知某几条直线,如何确定它们在同一平面内? 解: 在证明多线共面时,可用下面的两种方法:
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内;
(2)同一法:先证明一些直线在一个平面内,再证明其余的直线在另一个平面内,最后证明这两个平面重合,即证得所有直线在同一个平面内.考点类析例3 求证:两两相交但不过同一点的四条直线共面.
证明:分两种情况证明:
①有三条直线过同一点,如图(1)所示,
∵A?d,∴点A与直线d可以确定一个平面α,又∵B,C,D∈d,∴B,C,D∈α.
∴AB?α,AC?α,AD?α,∴a,b,c,d四条直线共面.
②任三条直线都不过同一点,如图(2)所示,
∵a∩b=A,∴直线a与直线b可以确定一个平面α.
又∵D,E∈b,B,C∈a,∴D,E∈α,B,C∈α,
由B,E∈α,得c?α;由C,D∈α,得d?α.
因此a,b,c,d四条直线共面.考点类析变式 已知直线a∥b,直线l与a,b都相交,求证:过a,b,l有且只有一个平面.
证明:如图所示.
由已知a∥b,所以过a,b有且只有一个平面α.
设a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,且A∈l,B∈l,
∴l?α.即过a,b,l有且只有一个平面.考点类析[小结] 点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是公理1、公理2及公理3.通常有三种方法:(1)纳入平面法,先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内;(2)辅助平面法(平面重合法),先由一些点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合;(3)反证法.考点类析拓展 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)AA1与CC1是否在同一平面内?
(2)点B,C1,D是否在同一平面内?
解:(1)如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,∵AA1∥CC1,∴AA1与CC1可确定平面AC1,∴AA1与CC1在同一平面内.
(2)∵点B,C1,D不共线,∴B,C1,D可确定平面BC1D,∴点B,C1,D在同一平面内.考点类析拓展 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(3)画出平面AC1与平面BC1D的交线,平面ACD1与平面BDC1的交线.
(3)如图所示,∵AC∩BD=O,∴O∈平面AC1,且O∈平面BC1D.又C1∈平面AC1,且C1∈平面BC1D,
∴平面AC1∩平面BC1D=OC1.同理可得平面ACD1∩平面BDC1=OE.当堂自测[解析]点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,表示为A∈a,a?α,B∈α.
1.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,那么可以表示为 (　　)
A.A?a,a?α,B∈α B.A∈a,a?α,B∈α
C.A?a,a∈α,B?α D.A∈a,a∈α,B∈αB当堂自测[解析] 平面的各部分都是“平”的,那么不能作为平面的部分只能是“曲”的,所以黑板面、客厅的地面、平静的水面均可作为平面的一部分,而篮球的表面是一个曲面,不能作为平面的一部分.
2.在下列各种面中,不能被认为是平面的一部分的是 (　　)
A.黑板面 B.客厅的地面
C.篮球的表面 D.平静的水面C当堂自测[解析] 若三个点在同一条直线上,则这两个平面可能相交;若这三个点不在同一条直线上,则这两个平面重合.
3.两个平面若有三个公共点,则这两个平面(　　)
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对C4.能确定一个平面的条件是 (　　)
A.空间三个点 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线D当堂自测证明: 如图所示,a∩b=A,c∩b=B,a∩c=C,且A,B,C三点不共线.∵A,B,C三点不共线,
∴根据公理2可知A,B,C三点可确定一个平面α.
∵a∩b=A,b∩c=B,a∩c=C,
∴A∈a,A∈b,B∈b,B∈c,C∈a,C∈c,
∴a?α,b?α,c?α.故直线a,b,c共面.5.三条直线两两相交且不共点.求证:这三条直线共面.