人教A版高中数学必修11.3.3函数的奇偶性教学设计（第一课时）

“奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的重要性质，从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为是继续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。

1.教学重点：函数奇偶性的概念和几何意义。
2.教学难点：奇偶性概念的数学化提炼过程

一．导入新课
思路1．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．
思路2．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．
二．
(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？
表1
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝x2
表2
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝|x|
(3)请给出偶函数的定义．
(4)偶函数的图象有什么特征？
(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？
(6)偶函数的定义域有什么特征？
(7)观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？
活动：教师从以下几点引导学生：
(1)观察图象的对称性．
(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．
(3)利用函数的解析式来描述．
(4)偶函数的性质：图象关于y轴对称．
(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．
(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．
(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．

讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称．
(2)
表1
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝x2
9
4
1
0
1
4
9
表2
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝|x|
3
2
1
0
1
2
3
这两个函数的解析式都满足：
f(－3)＝f(3)；
f(－2)＝f(2)；
f(－1)＝f(1)．
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．
(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(4)偶函数的图象关于y轴对称．
(5)不是偶函数．
(6)偶函数的定义域关于原点对称．

思考：（1）判断函数的奇偶性；（2）如果图中是函数图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在轴左边的图象吗（参见课本P35思考栏目的两个问题）？

例1判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x4；
(2)f(x)＝x5；
(3)f(x)＝x＋；
(4)
活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．
解：(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
所以函数f(x)＝x4是偶函数．
(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x5是奇函数．
(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋是奇函数．
(4)函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数。
点评：本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．

规律总结：用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：
（1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性.
（2）验证f(-x)=f(x) ，或者f(-x)=-f(x).
（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.
达标检测
1.函数f(x)=x2，x∈[0，＋∞)的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数，又是偶函数
【答案】C
2.已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（-1）=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
【答案】D
若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a-1,2a］,则a=______，b=______.
【答案】
判断下列函数的奇偶性。

课堂小结