人教版高中数学选修2-1教案：2.2.1椭圆及其标准方程

《椭圆及其标准方程（第一课时）》教学设计
一、教材及学情分析：
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．
在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．但是本班学生的计算能力有待提高，而且学生有一定的思维惰性，激发学生积极主动学习数学的兴趣任道而在于，则在选修2—1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题，这就要求教学过程中一定要给学生动手及思考的时间．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值．根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持．
二、教学目标：
1．知识与技能目标：
（1）理解椭圆的定义
（2）掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力
2．过程与方法目标：
（1）经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力
（2）学会用坐标化的方法求动点轨迹方程——解析法
（3）对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生利用数学思想方法分析和解决问题的意识
3．情感态度价值观目标：
（1）充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识
（2）重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣
（3）通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风
（4）通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美
（5）利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心
三、重、难点
重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想
难点：（1）标准方程的推导。（2）椭圆定义中常数加以限制的原因。
关键：含有两个根式的等式化简
四、教法
　　新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．
五、学法
遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。采用了以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。
六、教学程序
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
（一）
创
设
情
境
认
识
椭
圆
由太阳系各大行星运行系统动画影片切入，逐渐构纳出地球的运行轨迹，初步给出椭圆的表面映象认识。此时充分借助多媒体强大播放功能形象生动地演示各行星的运行轨迹，再重点突出地球的运行轨迹。这样有助于吸引学生的注意力。然后再借助图片展示木卫星的椭圆形光环，生活中常见的椭圆形立体视觉效果图，进一步加深对椭圆的表面映象认识。
让学生对椭圆有一个感性的认识，藉此产生学习的兴趣及学习椭圆的必要性。
（二）
意
义
建
构
椭
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圆
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的
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定
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义
实际生活中这样的图形很多，如何用现有的工具画出图形？谁能画出最漂亮、最完美的的一个椭圆呢？
教师与学生一起找出上述问题的解决方案，并一同用给的工具画出图形，与上述图形相似——椭圆。
学生分组试验:(1)取一条细绳；(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点,；(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？（教师巡视指导，展示学生成果）
问：哪些量是固定的、不变的？哪些量是变化的？
[学生讨论、作答]
问：椭圆如何定义？
[学生讨论、作答]
形成概念：到两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。
问：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？
引导学生回答：点的距离小于绳子的长即，从而意识到在“定义”中需要加上“常数>”的限制．
深化问题：若常数=或常数<,情况会发生什么变化？
（学生继续分组讨论，请出代表说讨论的结果）
引导学生应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据。
设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备
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注重概念形成过程，通过让学生亲自动手，培养学生的观察、归纳、概括能力。通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.
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进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。
(三)
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数
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学
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理
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论
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椭
圆
定
义
的
完
善
完善定义：到平面内两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
定点称为椭圆的焦点。
间的距离称为焦距。
当常数=时，与两个定点??的距离之和等于常数的点的轨迹是线段；
当常数<时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在．
加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风
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标
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准
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方
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程
(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系、设点、写出动点满足的几何限制条件、代坐标化、化简、证明等价性。简记：建设限代化
(2)推导椭圆的标准方程
①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征
方案1以两定点的连线为X轴其垂直平分线为Y轴
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方案2以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴
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以方案1为例推导：
以直线为X轴，以线段的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系．设焦距为??，则．设为椭圆上任意一点，点M与点的距离之和为．
②动点M满足的几何约束条件:?
③坐标化：?
④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号
移项后两次平方法化简得?
思考：观察图，你能从中找出表示a,c,
设，
(为什么要取平方？)
[学生思考，问题由老师来回答]
方程简化为：
(3)建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程
问：要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？
此时引导学生要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线y=x翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转即可转化成图(2)，需将x轴、y轴的名称换为y轴、x轴或y轴、-x轴．
焦点在y轴上的椭圆的标准方程为
(4)辨析焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方程的异同点（学生分组讨论，个别发言）
区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在x轴上；若项分母大，则焦点在y轴上．反之亦然．
联系：①它们都是二元二次方程，共同形式为
? ②两种情况中都有
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进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法
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掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神
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感受数学的简洁美、对称美
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体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动
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通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解。抓住数学形式的一致性，体会数学的严谨。
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（四）
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数
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应
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用
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义
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程
的
简
单
应
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用
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例1：动点P到两个点的距离和是10，则
动点P的轨迹为（ ）
A 椭圆 B 线段 C直线 D 无轨迹
变式：
(1)动点P到两个点的距离和是8，则
动点P的轨迹为（ ）
(2)动点P到两个点的距离和是7，则
动点P的轨迹为（ ）
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例2：判断焦点的位置并求其坐标：
（1）??（2）?
（3）
练习小卷
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巩固椭圆定义
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掌握两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法。
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提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程
掌握待定系数法在求椭圆标准方程中的应用，深化a、b、c?的关系。
充分让学生动手、动脑。及时反馈，强化知识点的学习。
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进一步强化椭圆的概念
(五)
回
顾
反
思
深化椭圆的概念与标准方程
1．知识点：椭圆的定义及其标准方程
2．数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程
3．数学思想：数形结合思想、化归思想
通过小结，使学生理清这节课的重难点。
（六）
课
后
作
业
巩
固
提
高
1．必做题：课本49页习题2．2　A组　2，5(1)(2)，6，9
2.实验操作题：折纸游戏（准备圆形纸片）
请按如下步骤进行操作：
①将圆心记作点，然后在圆内任取一定点
②在圆周上任取10个点，分别记作，将它们与圆心相连，得半径
③折叠圆形纸片，使点与点重合，将折痕与半径的交点记作；然后再次折叠圆形纸片，使点与点重合，将折痕与半径的交点记作；……；依此类推，最后折叠圆形纸片，使点与点重合，将折痕与半径的交点记作
④用平滑曲线顺次连接点，你有何发现？
⑤请对你的猜想进行证明。
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进一步完善教学目标的实现。
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再次探究椭圆的形成，加深对概念的理解，比较几何法与代数法的优劣点。
七、板书设计
2.1椭圆及其标准方程
一、定义：
（大于）焦点焦距=2c
二、标准方程：
焦点在X轴：
焦点在Y轴：
【关系】
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【例1】
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【例2】
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多媒体
八、教学反思
本节课既有概念的教学，又有椭圆标准方程的推导和应用．在概念学习上，学生可能会受传统教学方式的影响，忽略对概念本质的深入学习，忽视对概念的理解，导致学生在处理相关问题时出现偏差，也使得学生的数学思维的发展受到限制．在椭圆标准方程的推导中，按坐标法求曲线方程的过程，学生存在一定的障碍，具体表现为：如何建立合适的坐标系，学生在认知上还不是很到位；对于含两个根号的式子的化简，平时接触不多，方程中字母超过三个，且次数高，项数多，计算量较大，学生没有信心和能力自我解决这一难题；方程中字母b的引入，学生更是较难想到．基于以上情况，我在教学上作了以下设计：
（1）在椭圆定义的教学上我花了大量时间，课前精心准备了实验教具，课上让学生亲自动手实验，感受椭圆的形成过程，并鼓励学生总结椭圆上点的运动规律．当学生定义不准确、不严谨时，不是否定学生，而是保护学生的自尊心，“在最近发展区”继续设计问题，引导学生不断探索．通过这样的实践，学生对条件的理解水到渠成．这样，不仅完善了椭圆的定义，也有助于学生能力的培养．
（2）如何建立坐标系？对这一问题，教师并不是急于给出坐标系，而是给学生时间和机会，放手给学生做．又通过折椭圆，展示椭圆的对称性．再借助圆来说明（在求圆的方程式，若把圆心作为坐标原点建系时，得出的方程比另外的不把圆心作为原点得出的方程简洁美观）．启发引导学生找出最好的建系方案，让学生明白哪种坐标系更合适，这样，不用老师叮嘱，在以后的建系中，学生自然会注意到平衡对称对简化问题的作用．
（3）①无理方程的化简这是一难点，但也是学生利用坐标法求曲线方程必经的过程，所以我放手并鼓励学生自我完成，教师巡视指导，然后投影展示学生推导化简结果．这样，各个层次的学生都有自己的收获，学习才会变得既有趣又有意义．
②b的引入．主要是结合着图形，由学生观察图形直观获得a，b的几何意义，进而自然引进b．过渡自然，并为下节课学习椭圆几何性质打下基础．
（4）课后实验题的设计让学生能在游戏的过程中再次认识椭圆所具有的几何性质与代数式子之间的联系，体会数形结合的数学思想方法在高中数学解题中的重要作用。
（5）为了课堂教学的顺利进行教师可以在课前设计部分练习题（含有根式的式子的化简及如何求曲线方程），这样可以有效地利用课堂教学时间。