人教A版高中数学必修11.3. 函数的奇偶性教学设计（第二课时）

“奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的重要性质，从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为是继续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。


1.教学重点：函数奇偶性的概念和几何意义。
2.教学难点：奇偶性概念的数学化提炼过程

知识梳理
1.定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
图像：
偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点中心对称。
定义域：奇、偶函数的定义域关于原点对称．
题型探究
类型一 函数奇偶性的判断
例1.给出以下结论：
①f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数；
②g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数；
③F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数；
④h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________．
【分析】 先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断．

【答案】 ①③④
方法规律：定义法判断函数奇偶性的步骤

类型二 利用函数的奇偶性求函数值或参数值
例2.(1)(2016·沧州高一检测)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B.
C. D．1
(2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.
【精彩点拨】 (1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a；
(2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)．

【答案】 (1)A (2)－26
方法规律：
1．由函数的奇偶性求参数应关注两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
2．利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此．
类型三 利用奇偶性求函数的解析式
例3.函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，求f(x)的解析式．
【精彩点拨】 要求函数的解析式，根据题意，只要求当x≤0的函数解析式，由x＞0时，f(x)＝，可先设x＜0，则－x＞0，结合f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，可求f(x)．
【自主解答】 设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝＋1，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1，
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
方法规律：
利用奇偶性求函数解析式的一般步骤
1．在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间．
2．把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入．
3．利用函数的奇偶性把f(－x)改写成－f(x)或f(x)，从而求出f(x)．
类型四 函数奇偶性与单调性的综合应用
例4.(1)(2016·洛阳高一检测)定义在R上的偶函数f(x)
满足：对任意的x1、x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则当n∈N*时，有( )
A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)
B．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)
C．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)
D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)
(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，其图象关于原点对称，且f(1－a)＋f(1－2a)＜0，则a的取值范围是________．
【精彩点拨】 (1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可．
(2)由于y＝f(x)在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，可得函数f(x)是奇函数．再利用单调性即可得出．

(2)∵y＝f(x)在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，∴函数f(x)是奇函数．∵f(1－a)＋f(1－2a)＜0，∴f(1－a)＜－f(1－2a)＝f(2a－1)，
又y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，∴1＞1－a＞2a－1＞－1，解得0∴a的取值范围是0【答案】 (1)B (2)
方法规律：
1．利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响．
2．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较．
三．达标检测
1.下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
(1)f(x)＝x3；(2)f(x)＝|x|＋1；(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x＋；(5)f(x)＝x2，x∈[－1,2]；
(6)f(x)＝.

数；
对于(6)，定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数．故为偶函数的是(2)(3)(6)．
【答案】 (2)(3)(6)
2.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝( )
A．0 B．1 C. D．5
【解析】 由f(1)＝，对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)．
又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．于是f(2)＝2f(1)＝1；令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.
【答案】 C
3.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x(x－2) B．f(x)＝x(x＋2)
C．f(x)＝－x(x－2) D．f(x)＝－x(x＋2)

【答案】 D
4.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
【解析】 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，
∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.
【答案】 A