人教版高中数学必修二教案：4.3.2空间两点间的距离公式

§4.3.2 空间两点间的距离公式
（一）教学目标
1．知识与技能
使学生掌握空间两点间的距离公式
2．过程与方法
经历空间两点将距离公式的推导过程
3．情态与价值观
通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程
（二）教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式；
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
知识要点：
1. 空间两点、间的距离公式：.
2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：
①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；
②依题意确定各相应点的坐标；
③通过坐标运算得到答案.
3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).
例题精讲：
【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.
解：|AB|=6，∴，
即，解得x=1或x=9.
【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.
解：设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，
则坐标平面xOy，且|PQ|=|Q|，
∴在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合，在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，
∴与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，
∴点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).
【例3】在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离.
解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y. 要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离.
设P在平面AC上的射影是H，由在中，，所以，∴x=a-z，
∴P的坐标为(a-z, a-z, z)
∴ |PQ|==
∴当时，|PQ|取得最小值，最小值为.
∴异面直线间的距离为.
点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0.
【例4】在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离.
解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，
则P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）.
过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，
又ABC为正三角形，
∴H为ABC的重心，可得H点的坐标为.
∴|PH|=,
∴点P到平面ABC的距离为
点评：重心H的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本题也可以用几何中的等体积法来求解.