人教A版高中数学必修11.2.1函数的概念教学设计（第一课时）

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》（人教A版）《1.2.1 函数的概念》，本节课是第1课时。在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．



1.教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数；
2.教学难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

创设情景，揭示课题
探究一、初中学习的函数概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有惟一的值与它对应，则称是自变量，是的函数；其中自变量的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量的值对应的的值叫做函数的值域。
探究二、请同学们学习教材第15页引例1，做出高度的函数图像，并尝试用集合语言描述两个变量之间的依赖关系？
引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：（*）。
炮弹飞行时间t的变化范围是数集A = {t |0 ≤ t ≤ 26}，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B = {h | 0 ≤ h ≤ 845}。
从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有惟一的高度h和它对应。
引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 ~ 2001年的变化情况：

根据可图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B = {S |0 ≤ S ≤26}。并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有惟一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。
引例3、（恩格尔系数变化表）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五计划”以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

请仿照（1）、（2）描述恩格尔系数和时间（年）的关系。
探究三、分析、归纳以上三个实例，它们有什么异同点？
不同点：
实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；
共同点：
（1）都有两个非空数集；（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系。
注意：解析式、图像、表格都是一种对应关系
（二）准确定义，分析疑点
1、函数的概念
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：。其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。
注意：（1）对的理解：作为一个整体，它是一种符号，它可以是解析式、图像、表格；
（2）定义中集合A、B是非空数集；
（3）对于的每一个值，按照某个确定的对应关系，都有唯一的值与它对应；
2、探究四、初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？思考并填表
函数
一次函数
二次函数
反比函数
a>0
a<0
对应关系
[Z|
y=ax+b(a≠0)
yX|X|K]
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=(k≠0)
定义域
[科R ZRR&X&X&K]
R
R
值域
R

3、探究五、函数定义中有几个要素，是哪几个？
函数的三要素
（1）定义域：自变量x的取值范围。
（2）对应法则f ——变化规律；
（3）值域：函数值y的集合。
说明：① 定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；
② 值域由定义域、对应法则惟一确定；
③ 函数符号y = f (x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积”。
练习1：判断下列对应能否表示是的函数：
（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）。
练习2：下列图象能表示函数图象的是（ ）





归纳：如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？
① 定义域和对应法则是否给出？
② 根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。
4、区间的概念
设是两个实数，而且，我们规定：
（1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为或。
实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”。满足的实数的集合分别表示为。
注意：① 区间是一种表示连续性的数集；② 定义域、值域经常用区间表示；③ 用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。

练习：试用区间表示下列实数集：
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
例1.已知函数f(x)＝＋，
(1)求函数的定义域； (2)求f(－3)，f的值；
(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．
活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使和有意义的自变量的取值范围.有意义，则x＋3≥0，有意义，则x＋2≠0，转化为解由x＋3≥0和x＋2≠0组成的不等式组．
(2)让学生回想f(－3)，f表示什么含义？f(－3)表示自变量x＝－3时对应的函数值，f表示自变量x＝时对应的函数值．分别将－3，代入函数的对应法则中得f(－3)，f的值．
(3)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值，f(a－1)表示自变量x＝a－1时对应的函数值．分别将a，a－1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a－1)的值．

点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．
已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.
例2、下列函数中哪个与函数y＝x相等？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．
解：函数y＝x的定义域是R，对应关系是x→x.
(1)∵函数y＝()2的定义域是[0，＋∞)，∴函数y＝()2与函数y＝x的定义域不相同，
∴函数y＝()2与函数y＝x不相等．

（四）知能训练
1、集合用区间表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．已知函数，则（ ）
【答案】A
3、下列图形表示函数的图象的是（ ）

【答案】B
4、．下列各组函数是同一个函数的有________．
①f(x)＝，g(x)＝x； ②f(x)＝x0，g(x)＝；
③f(x)＝，g(u)＝； ④f(x)＝－x2＋2x，g(u)＝－u2＋2u.
【答案】②③④
5、求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)y＝.

（五）课堂小结
1.函数的定义及其理解
2、简单函数的求函数值及其求定义域
3、两个函数是否相等的判断