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《24.2.2直线和圆的位置关系（2）》导学案
课题 直线和圆的位置关系（2） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． 2．理解切线的判定定理和性质定理，会用这两个定理解决简单问题． 3．经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力．
重点难点 重点：理解圆的切线的判定定理和性质定理，并能运用它解决简单问题．难点：理解切线的判定定理，用反证法证明切线的性质定理．
教学过程
知识链接 问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的? 问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的? 都是沿着圆的切线的方向飞出的．
合作探究 知识点 1、切线的判定定理思考：1.如图，直线 l 和⊙O有什么位置关系? 2.如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离是多少？ 进一步思考：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？ ●切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．几何语言： 例1、如左图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 知识点二、探索切线的性质定理．思考：将上面“思考”中的问题反过来，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？你有什么方法证明。 ●归纳：切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 几何符号表达： 例2、如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO；(2)若AP＝，求⊙O的半径．
自主尝试 1.判断 （1. ）过半径的外端的直线是圆的切线（ ） （2. ）与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） （3. ）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）2.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 3.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
当堂检测 1.如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于( ) A.50° B.40° C.60° D.70°2.如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则∠B=________.3.如图,AB为☉O的直径,BC切☉O于B,CO交☉O于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=25°,求∠A的度数.4.如图,已知AB是☉O的直径,P为☉O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC. (1)求证:PA为☉O的切线. (2)若OB=5,OP= QUOTE ,求AC的长. 5.如图,P是☉O外一点,PA切☉O于点A,AB是☉O的直径,BC∥OP且交☉O于点C,请准确判断直线PC与☉O是怎样的位置关系,并说明理由.
小结反思 今天学习了什么？有哪些问题？
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《24.2.2直线和圆的位置关系（2）》导学案
课题 直线和圆的位置关系（2） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． 2．理解切线的判定定理和性质定理，会用这两个定理解决简单问题． 3．经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力．
重点难点 重点：理解圆的切线的判定定理和性质定理，并能运用它解决简单问题．难点：理解切线的判定定理，用反证法证明切线的性质定理．
教学过程
知识链接 问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的? 问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的? 都是沿着圆的切线的方向飞出的． 如何判断一条直线是切线？今天我们来学习这个内容，切线的判定。
合作探究 知识点 1、切线的判定定理思考：1.如图，直线 l 和⊙O有什么位置关系? 相切 2.如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离是多少？教师引导学生思考，分析，让学生知道，圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线．即由d=r可以得到直线 l 是⊙O的切线． 进一步思考：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ 教师再次引导学生讨论点A与直线l的位置关系，从而得到●切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．几何语言：∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。 教师可举例相交、相离的情况，以深化对切线的理解． 教师还可以举生活中的直线和圆相切的实例，培养学生的感性认识．例如，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的．总结前面我们学过的知识，我们有哪些判定直线是切线的方法，小组讨论，形成结论。●判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 例1、如左图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了．而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE＝OD． 证明：如右图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA． ∵ ⊙O与AB相切于点D， ∴ OD⊥AB． 又 △ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴ AO是∠BAC的平分线． ∴ OE＝OD，即OE是⊙O的半径． 这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切． 教师引导学生分析自主尝试中的2题和3题的证法有何不同?然后交流讨论。 (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。总结常用的辅助线方法：①证切线时辅助线的添加方法：(1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径.②有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.③切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.知识点二、探索切线的性质定理．思考：将上面“思考”中的问题反过来，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 实际上，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．（反证法）证明1：（如图）假设OA与直线l不垂直，过点O作OM⊥l，根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，于是直线l就与圆相交．而这与直线l是的⊙O切线矛盾．因此，OA与直线l垂直，从而得出切线的性质定理． （构造法）证明2：作出小⊙O的同心圆大⊙O， CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点. 连接OA,根据垂径定理，则 CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．●归纳：切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 几何符号表达：∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA.例2、如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO；(2)若AP＝，求⊙O的半径．分析：(1)根据已知条件我们易∠CAB=∠PAO=90°， 由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90度．
又∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，∴∠C=∠OAC，
∵∠AOP=∠C+∠OAC，∴∠C=∠AOP=30°，
∴∠C=∠P，∴AC=AP．
又BC为⊙O直径，
∴∠CAB=∠PAO=90°，
∴△ACB≌△APO（ASA）． (2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP = ，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2， ∴OB＝1，即⊙O的半径为1. 点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件
自主尝试 1.判 断 （1. ）过半径的外端的直线是圆的切线（ ） （2. ）与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） （3. ）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）答案：×、×、×教师解释原因的时候可以对应的画出以下图形，加深的理解。最后注重强调利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端;(2)直线与这半径垂直。2.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB⊥OC即可。 证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。3.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
当堂检测 1.如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于( )A A.50° B.40° C.60° D.70°解析：连接OC,∵CE为切线,∴∠OCE=90°, ∵∠CDB=20°,∴∠COE=40°,∴∠E=50°.2.如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则∠B=________.答案:60° 解析：连接OA,则OA⊥MN,由于∠MAB=30°,所以∠OAB=90°-30°=60°,而OA=OB, 所以∠B=∠OAB=60°.3.如图,AB为☉O的直径,BC切☉O于B,CO交☉O于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=25°,求∠A的度数. ∵AB为☉O的直径,BC切☉O于B, ∴∠ABC=90°. ∵∠C=25°, ∴∠BOC=65°. ∵∠A=∠BOD, ∴∠A=32.5°.4.如图,已知AB是☉O的直径,P为☉O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC. (1)求证:PA为☉O的切线. (2)若OB=5,OP= QUOTE ,求AC的长.解：(1)设AC与OP相交于点H. ∵AB是直径,∴AC⊥BC,∠BAC+∠B=90°. ∵OP∥BC,∴OP⊥AC,∠AOP=∠B. ∵∠P=∠BAC, ∴∠P+∠AOP=90°,于是∠OAP=90°, ∴PA为☉O的切线. (2)∵OP⊥AC,∴AC=2AH, 在直角三角形PAO中, AP=由面积法可知:AH= ∴AC=2AH=8. 5.如图,P是☉O外一点,PA切☉O于点A,AB是☉O的直径,BC∥OP且交☉O于点C,请准确判断直线PC与☉O是怎样的位置关系,并说明理由.解：PC与☉O相切.理由如下: 连接OC,则OC=OB,∴∠B=∠OCB. ∵BC∥OP,∴∠B=∠AOP,∠OCB=∠COP,∴∠AOP=∠COP. 在△AOP与△COP中,OA=OC,∠AOP=∠COP,OP=OP,∴△AOP≌△COP. 又∵PA是☉O的切线,∴∠OCP=∠OAP=90°. 又∵OC是半径,∴PC是☉O的切线.
小结反思 今天学习了什么？有哪些问题？
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(共28张PPT)
24.2.2直线和圆的位置关系（2）
人教版 九年级上
新知导入
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的?
都是沿着圆的切线的方向飞出的．
如何判断一条直线是切线？
新知讲解
2.如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离是多少？
即圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
1.如图，直线 l 和⊙O有什么位置关系?
切线的判定定理
相切
距离为半径OA的长度
新知讲解
B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?
（2）二者位置有什么关系？为什么？
O
●
相等
垂直
新知讲解
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
B
C
O
∵ OA是半径，OA⊥l于A
∴ l是⊙O的切线。
几何符号表达：
巩固练习
1.判 断
（1. ）过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
（2. ）与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
（3. ）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
×
×
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端;
(2)直线与这半径垂直。
新知讲解
总结：
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例题讲解
例1、如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线．
O
C
E
A
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ，∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
C
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
巩固练习
2.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
巩固练习
3.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
O
A
B
C
D
证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
∵ OD是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线。
新知讲解
练习2和练习3的证法有何不同?
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
新知讲解
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
总结：
新知讲解
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点.
∴直线l ⊥OA.
切线的性质定理
几何符号表达：
新知讲解
证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.
则OM 这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
所以AB与CD垂直.
证法1：反证法.
性质定理的证明
新知讲解
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，
CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.
连接OA,根据垂径定理，则
CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
新知讲解
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
方法总结
例题讲解
分析：(1)根据已知条件我们易∠CAB=∠PAO=90°，
由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
例题讲解
(1)求证：△ACB≌△APO；
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
∴∠OAP＝90°.
例题讲解
(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．
∴AO＝1，
∴CB＝OP＝2，
∴OB＝1，
即⊙O的半径为1.
拓展提高
1.如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于( )
A
A.50° B.40° C.60° D.70°
2.如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则∠B=________.
60°
拓展提高
3.如图,AB为☉O的直径,BC切☉O于B,CO交☉O于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=25°,求∠A的度数.
∵AB为☉O的直径,BC切☉O于B,
∴∠ABC=90°.
∵∠C=25°,
∴∠BOC=65°.
∴∠A=32.5°
解：
拓展提高
解：(1)设AC与OP相交于点H.
∵AB是径,∴AC⊥BC,∠BAC+∠B=90°.
∵OP∥BC,∴OP⊥AC,∠AOP=∠B.
∵∠P=∠BAC,
∴∠P+∠AOP=90°,于是∠OAP=90°,
∴PA为☉O的切线.
拓展提高
(2)∵OP⊥AC,∴AC=2AH,
在直角三角形PAO中,
∴AC=2AH=8
拓展提高
5.如图,P是☉O外一点,PA切☉O于点A,AB是☉O的直径,BC∥OP且交☉O于点C,请准确判断直线PC与☉O是怎样的位置关系,并说明理由.
解：PC与☉O相切.
连接OC,则OC=OB,∴∠B=∠OCB.
∵BC∥OP,∴∠B=∠AOP,∠OCB=∠COP,∴∠AOP=∠COP.
在△AOP与△COP中,
OA=OC,∠AOP=∠COP,OP=OP,
∴△AOP≌△COP.
又∵PA是☉O的切线,∴∠OCP=∠OAP=90°.
又∵OC是半径,∴PC是☉O的切线.
课堂总结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点
与圆心的距离等于圆的半径
经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
l是圆的切线
l是圆的切线
3.切线的性质
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作业布置
教材98页练习1、2题
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