等差数列的前n项和
【导入】等差数列前n项和
实例1.?? 为了参加运动会上的3000米长跑比赛，李强给自己制订了一周的训练计划：第1天跑3000米，以后每天比前一天多跑400米。李强一周一共要跑多少路程？
设计意图：由实例出发，吸引学生的注意力，提高兴趣，体现研究等差数列前n项和的必要性。
等差数列的前n项和
泰姬陵位于印度北方邦的阿格拉，是莫卧儿帝国国王沙贾汗为他死去的爱妃泰姬·玛哈尔所造的陵墓，被誉为世界七大奇迹之一。凡是见过泰姬陵的人，都被它那洁白晶莹、玲珑剔透的身影所倾倒。泰姬陵全部用白色大理石建成，用玻璃、玛瑙镶嵌，绚丽夺目，集伊斯兰和印度建筑艺术于一体，泰戈尔曾赞美道：“泰姬陵是‘时间面颊上的一滴泪’。”在世人眼中，泰姬陵就是印度的代名词。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上右图），奢靡之程度，可见一斑。
欣赏完如此美的故事及图案，请问：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
设计意图：源于历史，富有人文气息；图中算数，激发学生学习兴趣和探究欲望；承上启下，引出高斯算法.
2、自主探究，合作交流
问题一：“1+2+3+…+99+100”，这个问题大家不陌生吧？你能解释这种运算方法的原理吗？
设计意图：引出高斯算法，教师简单讲述德国数学家高斯的故事，进一步体现数学的人文价值。同时课题的引入已经水到渠成。正式引入并板书本节课题——等差数列前 项和.
学生阐述观点，解释做法，教师点拨
问题二：高斯利用上述规律采用了首尾配对的方法，对于下面的等差数列求和问题这种方法还适用吗？
（1）2+4+6+…+200 （2）1+2+3+…+21?? （3）1+2+3+…+n????
若不适用，你有更好的方法吗？
设计意图：此时，学生兴趣高涨，教师先不参与，给学生一定的思考时间和思考空间，让学生自主活动。这是求奇数项和的问题，显然不能正好凑成整数对，说明不能简单模仿偶数项求和的办法，结合问题二得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇数、偶数项的情况求和。探索得到等差数列前n项和公式的推导方法----倒序相加，
学生独立思考交流讨论，寻找解决问题的思路。
对公式的探究
问题四：（教师在提出探究性问题的过程中板书：如果已知等差数列的首项为 ，尾项为 ，项数为 ，则求其前 项和，并给出等差数列的前 项和定义.）在上面的求解中,我们发现任意的第 项与倒数第 项的和都等于首项与尾项的和,这能给我们求一般等差数列前 项和带来怎样的启发呢?如何求a1+a2+…+an?
设计意图：在教师的指导下，让学生经历从特殊到一般的过程，从求确定的前 个正整数之和到求一般项数的前 个正整数之和，旨在让学生体验“倒序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进。
此时引导学生得出： ∵ Sn=a1+a2+…+an
?????????????????? ???Sn=an+an-1+…+a1
????????????????? ∴2Sn=( a1+ an)+( a2+ an-1)+ …+(an+ a1)
学生推导，教师点拨。
问题五：上述求和公式中涉及到三个元素，是否还可以用基本量来表示呢？
设计意图：推出等差数列的前n项和公式二。
将 代入公式1.
得(公式2)
??? 学生推导，交流讨论，教师巡视学生的解题过程，及时给予纠正。
巩固应用阶段
例1： 根据下列各题中的条件，求等差数列的前n项和 .
.
例2：
问题探究三：
问题1：通过求前面等差数列前n项和的练习，你能发现 等差数列的前n项和表达式在形式上具有什么特点吗？ 有什么依据吗？
问题2：如果一个数列的前n项和的公式是 那么这个数列一定是等差数列吗？
问题3：如果已知数列 的前n项和 ；
(1) 这个数列是等差数列吗？求数列 的通项公式；
(2)求使得 最小的序号n的值.
设计意图：体会二次函数模型在数列问题中的应用，研究一组问题：（1）利用 求an（2）若 =an2+bn,则该数列为等差数列（3）类比二次函数，等差数列前 项和存在最值。方法一：利用配方法求顶点坐标，注意n为正整数;方法二：先求通项公式，找出n取何值时，an符号变化。
总结反思，深化认识
1、回顾从特殊到一般的研究方法；
2、体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想；
3、掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。
学生回顾总结，教师带动全体同学补充完善。
【作业】等差数列的前n项和
必做题
选做题
设计意图：必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。根据我校的特点，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决问题的能力，我设计了选做题，以达到分层教学的目的。
课件14张PPT。高二年级数学必修5（人教版）等差数列的前n项和 为了参加运动会上的3000米长跑比赛，李强给自己制订了一周的训练计划：第1天跑3000米，以后每天比前一天多跑400米。李强一周一共要跑多少路程？等差数列的前n项和 传说陵寝中有一
个三角形图案，以相
同大小的圆宝石镶饰
而成，共有100层，
奢靡之程度，可见一
斑。你能计算出这个
图案一共花了多少
颗宝石吗？
1+2+3+。。。+100=？ 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（C.F.Gauss，1777年4月30日－1855年2月23日），男，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。高斯在历史上影响巨大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100=？
【问题探究1】
(1) S=2+4+6+······+200=？
?
(2) S=1+2+3+······+21=？
?
(3) S=1+2+3+······+n=？
?
若不适用，你有更好的方法吗？等差数列前n项和的两种形式：【问题探究2】小试身手——应用公式
根据下列条件，求相应等差数列的前n项和【实战训练】
根据下列等差数列的条件，求解相应的量：【问题探究3】问题1：通过求前面等差数列前n项和的练习，你能发现
等差数列的前n项和表达式在形式上具有什么特点吗？
有什么依据吗？
问题2：如果一个数列的前n项和的公式是
那么这个数列一定是等差数列吗？问题3：如果已知数列 的前n项和 ；
(1) 这个数列是等差数列吗？求数列 的通项公式；
(2)求使得 最小的序号n的值.
课堂小结：总结本节课你的收获：课后作业：1.已知等差数列中，，那么的值是 （ ）
A.12 B.24 C.36 D.48
2.已知等差数列中，，则等于 （ ）
A.33 B.34 C.35 D.36
3. 在等差数列中，，则数列的通项公式为 （ ）
A. B. C. D.
4.数列的通项公式为，，则的前项和取得最小值时的项数的值是 （ ）
A.24 B.23或者24 C.24或者25 D.25
5.求等差数列的各项的和；
6.在等差数列中，（1）已知求;
（2）已知，求.
