1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
【学习目标】
知识与技能目标
（1）理解1弧度的角及弧度的定义；
（2）了解弧度制的概念，体会弧度是一种度量角的单位；
（3）掌握弧度与角度的换算公式，熟练进行弧度与角度的换算；
（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；
（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
过程与方法目标
（1）通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；
（2）比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；
（3）应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；
（4）以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；
情感态度与价值观目标
（1）通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；
（2）在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；
（3）通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
重点：掌握扇形弧长公式、面积公式. 难点：理解弧度制表示.
【知识回顾】
与终边相同的角可以表示为
已知角的终边关于轴对称，则与的关系为
终边在上的所有角的集合是
上述集合中介于与之间的角是
【课堂探究】
探究一 弧度制的概念 、 角度制与弧度制的互化
问题1：度量角的两种单位制是什么？1弧度是如何定义的？
问题2：弧度和角度是如何换算的？
问题3：特殊角的弧度数
度
00
300
4500
600
900
1200
1350
1500
1800
2250
2700
3150
3600
弧度
例1、下列说法正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
例2、将下列各角进行角度与弧度的互化；且将下列各角化成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，并指出是第几象限角？
(1)1140°； (2)－π；
(3)π； (4)－315°.
变式练习：课本P11 A 2，3， B 5
探究二：用弧度制表示区间角问题
例3 用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非负半轴，终边落在下图中阴影部分内的角的集合(包括边界)．
（1）
（2）
（3）
探究三：弧度制下扇形弧长公式、面积公式的应用
问题4：弧长公式: 扇形的面积公式: .
例4 (1)已知扇形周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积；
(3)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
变式练习：课本P11 A 5 B 4
【课堂小结】
弧度制的概念，角度制与弧度制的换算；
弧长公式，扇形的面积公式。
3.数形结合的数学思想。
【巩固练习】
1．下列说法不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角
C．根据弧度的定义知，180度一定等于π rad
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径的长短有关
2.下列说法正确的是 ( )
A:1弧度的角的大小与圆的半径无关. B:在大圆中1弧度的角比小圆中的1弧大.
C:所有圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等. D:用弧度制表示的角都是正角.
3.用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合
4．（1）把下列各角的度数化为弧度数，并写成0到的角加上的形式
-60° 405° -750°
(2)若β∈[－4π，0]，且β与－1 480°角的终边相同，求β.
5．在坐标平面内，画出下列角的终边：
π； π； －π； －π.
6．一扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？
7.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径为R
(1) 若α=600,R=10,求扇形的弧长
(2) 若扇形的周长为定值C(C﹥0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积.
课后反思：
课件29张PPT。1.1.2弧度制学习目标:(1)理解弧度制的概念;
(2)熟练进行角度制与弧度制的换算;
(3)能应用弧长公式与扇形面积公式解决有关问题.1、角的分类:2、角的表示:注意：⑴k∈ Z ⑵α任意
⑶终边相同的角有无数个3).象限角的表示:提出问题：思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ 将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角. 思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？ 用度作单位来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。 这就启示我们：
可以用圆的半径作单位去度量弧思考3：如图，我们规定：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？思考4：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？ (弧长计算公式)角度制与弧度制互换:(1)将角度化为弧度：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.角度制与弧度制互换:(2)将弧度化为角度：特殊角的弧度: 正实数零负实数对应角的弧度数思考5：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可
以建立一个一一对应关系，这个对应关系
是如何理解的？ ①、弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度； ②、1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而 是圆的 所对的圆心角的大小；
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．角度制与弧度制的比较? 弧度与角度不能混用．例2题型3 用弧度制表示角例3 用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非负半轴，终边落在下图中阴影部分内的角的集合(包括边界)．弧长及扇形面积公式:(1)弧长公式：(2)扇形面积公式: （见课本）其中l是扇形弧长，r是圆的半径例4：已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，求该扇形的面积.解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有见学案例题四第一象限角的集合:提高：第二象限角的集合:第三象限角的集合:第四象限角的集合:使用弧度制，写出各象限角的集合:写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：【总一总★成竹在胸】1. 什么叫1弧度角?
2. “角度制”与“弧度制”的联系与区别．
3、角度制与弧度制互化。
4.能应用弧长公式与扇形面积公式解决有关问题. 任意角和弧度制练习题
姓名： ( )班
一．选择题
1.已知A={第一象限}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A,B,C的关系是（ ）。
2.有下列说法：（1）终边相同的角一定相等；（2）不相等的角的终边不重合；（3）角α与角－α的终边关于Y轴对称；（4）小于180°的角是锐角、钝角或直角。其中错误的个数为 ( )。
A. 1; B.2; C.3; D.4
3.若角α是第四象限角，则180°－α是 （ ）。
A.第一象限角； B.第二象限角； C. 第三象限角; D.第四象限角.
4.下列说法中正确的是 ( )。
A.1弧度角的大小与圆的半径无关； B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大。
C.圆心角为1弧度的扇形的弧长； D.用弧度表示的角都是正角。
5.若α=－3，则角α的终边在 （ ）。
A.第一象限； B.第二象限； C.第三象限； D.第四象限。
二．填空题
1.时钟从6时50分走到10时50分，时针旋转了_____________弧度。
2.在半径为的圆中，圆心角为周角的的角所对圆弧的长为_______________。
3.一段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________。
4.已知角，且与的终边相同，则=___________________。
三．解答题
1.已知角的终边与角的终边关于x轴对称，且，求的值。
2.已知角。
（1）将角用弧度表示，并将其化成的形式；
（2）以第（1）小题中角为圆心角，它所对的弧长为,求它所在圆的半径；
（3）求第（2）小题中扇形的面积。
3．一扇形周长为20m，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积。
