课件38张PPT。（第一课时）
2.1.1 函数问题1: 初中学过哪些函数?函数的概念（传统定义 变量说）定义 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x叫自变量，y叫因变量.Function（函数）传统定义欧拉瑞士数学家、自然科学家. 是18世纪数学界最杰出的人物之一 .波恩哈德·黎曼，德国数学家、物理学家.情境体验问题2：在汽车加油的过程中，加油金额与加油量之间是函数关系吗？问题3: y =1 是函数吗? 很多数学家也发现函数的传统定义用变量的观点来描述函数，虽然可以形象生动地描述事物的变化规律，但有一定的局限性。等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了函数近代定义—“对应说”康托尔（1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人 维布伦(Veblen, Oswald, 1880-1960)美国数学家. 探索新知学生活动:
阅读教材第29页、30页实例（1）-（4）.并思考下列问题：
（1）每个实例中的两个变量各是什么？
尝试用集合和对应的语言描述两变量之间的关系.
（2）四个实例有什么不同点与相同点？ 探索新知（1）在研究学生好奇心指标随年龄增长的变化规律时，通过某次实验得到的数据如图所示：图中年龄x的取值范围是数集A={ 10,11,12,13,14,15 }对于数集A中的任意一个年龄x，按照图象，都有唯一确定的指标y与它对应。实例分析1探索新知(3)我国从1998年到2002年，每年的国内生产总值.实例分析3自变量年份构成一个数集A,国内生产总值构成一个数集B. 对于数集A中的每一个年份x,按照表中的对应值, 都有唯一确定的生产总值和它对应.问题4：以上4个实例有什么不同点、相同点？主要共同点（1）都有两个非空数集 .
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.（3）对于数集A中的任意数，都有唯一确定的数与它对应.函数的概念（近代定义 对应说） 定义 设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数 ,按照确定的法则 ，都有唯一确定的数 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.
记作其中, 叫做自变量,自变量的取值范围（数集A）叫做函数的定义域.与 的值对应的 值叫做函数值.
函数值的集合 叫做函数的值域.问题5：请同学们找出概念中的关键词，并用简洁的语言说明.概念理解定义 设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数 ,按照确定的对应法则 ，都有唯一确定的数 与它对应，那么这种对应关系叫做集合A上的一个函数.
记作下列图形能表示函数图象的是（ ）（1）（2）（3）（4）函数的概念（近代定义 对应说） 定义 设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数 ,按照确定的法则 ，都有唯一确定的数 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.
记作其中, 叫做自变量,自变量的取值范围（数集A）叫做函数的定义域.与 的值对应的 值叫做函数值.
函数值的集合 叫做函数的值域.概念理解问题6：函数由几部分组成?
定义域、对应法则、值域.
值域被定义域、对应法则完全确定.
两要素：定义域、对应法则．概念理解 问题7：你理解符号 的含义吗？ 1. “ ” 即为“y是x的函数”的符号表示.
函数 不一定能用解析式表示.
对应法则的给出形式多样，用“ ”表示，实现了图、表、数的高度抽象概括.在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号 外，还常用g(x)、F(x)、φ(x)等符号来表示.概念理解 3. 与 是不同的.
通常 表示当自变量 时函数 的值，是常量， 是 的一个特殊值.
例如函数 当 时的函数值为 .
概念理解函数本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.对应法则函数实例问题8：你能举出一个函数实例吗？想一想，试一试.函数实例考试总分准考证号考试成绩查询系统数字处理系统xy任意唯一考试总分数字处理系统xy数
据
库数
据
库处理器定
义
域值
域对应法则图像数表解析式函数典例分析例1 思考、讨论，回答下列问题:3. 是函数吗？ 1y0x典例分析例2 求下列各函数的定义域，并判定哪一个与函数 是同一个函数？例3 已知函数 (2) 求函数的定义域.典例分析(1) 求 变式 求函数 在
处的函数值和值域.典例分析归纳小结提炼总结 分享收获 这堂课学到了什么？有哪些收获？
比较函数的两个定义你有什么新的 认识？归纳小结1.本节课探讨了用集合与对应的语言描述
函数的概念，并引入了函数符号y=f(x).2.函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.3.函数的两要素：定义域、对应法则.4.会求函数的定义域、函数值.归纳小结 函数概念是数学概念中最重要的概念之一。众多数学家从不同的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而也推动了整个数学发展。
希望同学们掌握更多知识，为数学的发展做出自己的贡献。变量说对应说关系说课后作业一、课后练习 P33
(1)练习A 4、5、6、8;
(2)练习B 1、2、4、5. 二、查阅函数的发展史，写成一篇小论文与大家分享.莱布尼兹17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家. 1673年，莱布尼兹首次使用“fun_ction”（函数）一词。Function（函数）首次使用李善兰（1811年—1882年）是中国近代著名的数学家、天文学、力学和植物学家。 1859年在翻译《代数学》一书时，把“fun_ction”译成“函数”。Function（函数）传统定义欧拉瑞士数学家、自然科学家. 是18世纪数学界最杰出的人物之一 .波恩哈德·黎曼，德国数学家、物理学家.康托尔（1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人 维布伦(Veblen, Oswald, 1880-1960)美国数学家. Function（函数）近代定义谢谢
再见2.1.1 函数（第一课时）评测练习
1．对于函数y=f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2.判断下列对应是否为函数？
（1）A=R, B=R, 对应法则( )
（2）A=N, B=R, 对应法则( )
（3）A={1,2,3}, B=R, ( )
3. 函数的定义域为 .
4. 已知函数
（1）求
（2）若
2.1.1 函数（第一课时）教学设计
教学过程：
教学目标
（1）知识与技能目标：会用集合与对应的语言描述函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
（2）过程与方法目标：从生活实际和学生已有知识出发，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，在此基础上借助数字处理器的思想理解函数的实质。通过函数概念的学习，提高学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力。
（3）情感、态度与价值观目标：通过对函数概念的教学，让学生体验到由具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的认知过程；使学生在初中数学学习的基础上，对数学的高度抽象性、概括性和广泛的应用性有进一步认识；通过课前预习、课上交流，培养学生良好的学习习惯，使学生获得成功体验，激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
教学重难点
由于函数概念中的“对应”本质是后继学习映射、函数图像与性质、指对幂函数等知识的基础，而学生初中对函数的学习是在“变量”观点下的定义，所以本节课的教学重点是函数概念的形成，对函数概念的理解。
学生在初中函数学习中，只停留在对一些具体函数的感知，所以本节课的教学难点是对函数符号的理解。学生的理解障碍有两个：一是符号的高度抽象性，二是函数中的任意性，学生对取的理解有一定困难，所以要充分铺垫，循序渐进。
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习
引入
探索
新知
问题:初中学过哪些函数?
问题：初中函数的定义呢？
定义 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x叫自变量，y叫因变量.
学生积极思考，回答教师提出的问题
复习初中学过的函数和函数的定义，既有利于巩固旧知识也有利于新知识的学习，为下面的学习奠定基础．
函数概念的发展史初步了解：
fun_ction（函数）一词首次提出；
函数传统定义的形成过程；
与函数概念有关的数学家．
实例：在加油站汽车加油动画演示
问题：在汽车加油的过程中，加油金额与加油量之间是函数关系吗？
问题：由初中函数定义你能判断“y=1 ” 是否表示一个函数？
很多数学家也发现函数的传统定义有一定的局限性，他们逐步完善、丰富函数的内涵，等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了函数近代定义—“对应说”
函数的近代定义是如何定义的呢？请先带着下列问题自学阅读：课本第29-30页，然后小组讨论．
思考讨论：（1）自变量、因变量及其范围是什么？
尝试用集合和对应的语言描述两变量之间的关系.
（2）以上4个实例有什么异同点？
主要不同点是：对应关系的表示方式不同
实例（1）（2）是用图像刻画变量之间的对应关系．实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系．
实例（4）是用解析式刻画变量之间的对应关系．
主要共同点是：①都有两个非空数集；
②两个数集之间都有一种确定的对应关系；
③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应.
幻灯片播放有关图片
学生小组讨论
学生回答，质疑争论
学生独立思考2-3分钟，然后分组讨论，交流．整理出本组同学所想到的各种想法．教师巡视，关注学生讨论情况．
了解函数概念发展史
从生活问题入手，再现初中变量观点描述函数概念
引出学习函数新的定义的必要性
了解一点数学史：函数概念由变量说到对应说
用实际问题引出概念，激发学生兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力．
概念
形成
问题： 能用集合与对应的语言来刻画函数的概念吗？
（学生尝试归纳出）
（一）函数的概念
设A,B是非空的数集，对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应法则f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称这种对应关系叫做集合A到集合B的一个函数.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域.
与x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域.
（二）函数概念理解：
1．问题：请同学们找出概念中的关键词，并用简洁的语言说明.
2.问题：函数由几部分组成?
定义域、对应法则、值域.
值域被定义域、对应法则完全确定.
两要素：定义域、对应法则．
3.问题：你理解符号“”的含义吗？
“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；
y=f(x)不一定能用解析式表示；
在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、φ(x)等符号来表示．
f(a)表示当自变量 x=a 时函数f(x)的值，是常量，f(x)是自变量x的函数，它是一个变量，
（三）函数实例
问题：你能举出一个函数实例吗？
教师举例：考试成绩查询系统，可以看做一个函数模型
总结出函数关系的实质，给出函数概念．
师生共同分析，学生得出
1．函数概念关键词：
非空数集、任意、唯一．
2.函数的两要素：定义域、对应法则
多名学生举例，并加以分析是否是函数，定义域是什么？对应法则是什么？
教师举例
学生大胆尝试
加深概念的理解
师生互动，抓住函数概念这一重点，通过举出的函数实例，让同学们进一步理解函数的概念、突破理解对应法则这一难点
（四） 比较新的函数定义与传统的函数定义有什么异同？
函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同．两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发．
通过函数两个定义的理解，进一步掌握函数概念的本质．
典例
分析
课堂
小结
例1 思考、讨论，回答下列问题
例2 求下列各函数的定义域，并判定哪一个与函数 是同一个函数？
例3 已知函数
（1）求
（2）求函数的定义域.
变式：
处的函数值和值域.
提炼总结 分享收获
（一）这堂课学到了什么？有哪些收获？
比较函数的两个定义你有什么新的认识？
1.本节课探讨了用集合与对应的语言描述
函数的概念，并引入了函数符号y=f(x).
2.函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.
3.函数的两要素：定义域、对应法则.
4.会求函数的定义域、值域.
（二）函数概念是数学概念中最重要的概念之一．众多数学家从不同的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而也推动了整个数学发展．
希望同学们掌握更多知识，为数学的发展做出自己的贡献．
例1 让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导．
例2 学生先自主解答，小组代表回答，并提炼总结如何判断是否为同一函数．
例3 让学生分组讨论、交流，师生共同完成，小结求函数定义域．
在老师启发诱导下，学生观察、归纳、总结，教师完善．
教师先分析例题，学生分组讨论，然后独立解答．
掌握函数两要素
让学生积极发言，归纳总结本节课的收获，教师及时点评并归纳总结，使学生对所学内容有一个整体的认识．
课后
作业
一、课后练习 P33
(1)练习A 4、5、6、8;
(2)练习B 1、2、4、5.
二、查阅函数的发展史，写成一篇小论文与大家分享.
课后延伸：莱布尼兹17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家. 1673年，莱布尼兹首次使用“fun_ction”（函数）一词．
李善兰（1811年—1882年）是中国近代著名的数学家、天文学、力学和植物学家． 1859年在翻译《代数学》一书时，把“fun_ction”译成“函数”．
分层布置作业，帮助学生巩固所学知识，反馈课堂教学效果．
查阅函数的发展史，认识几位数学家，了解数学文化．
