高中数学必修5人教版：2.1数列的概念与简单表示法（第1课时）教案

2.1 数列的概念与简单表示法（第1课时）
一、教学目标：
（1）理解数列及其有关概念，了解数列的简单分类；
（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；
（4）了解数列是一种特殊的函数；
（5）借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
二、教学重点、难点：
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
三、教学过程：
（一）创设情景，导入课题
问题(1)多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？
三角形数：1，3，6，10，…
正方形数：1，4，9，16，25，…（图见课本）
象这样，按一定次序排列的一列数叫做数列（教师板书课题）
（二）讲授新课
问题(2)三角形数与正方形数同数集中元素的特点有何不同？
引导学生回忆、比较，并归纳：
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
概括数列的概念：
(1)按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
(2)数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
(3)辩析数列的概念： “1，”与 “1”是同一个数列吗？
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.（它们不是同一个数列；且 中，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等）
数列的分类：
（1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…
（2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？
数列的通项公式：
问题(3) 数列中数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？
（教师引导学生回答，作出评价）。
我们看下面这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
问题(4) 数列的前若干项写出的通项公式形式唯一吗？举例说明。
（提问）生答：一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
问题（5）数列的通项公式能确定这个数列哪些方面的性质？
（提问）生答：数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
注意：教师引导学生回答问题，并说明并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列：1，2，-1，2，7，56，3。
数列与函数的关系
问题（6）函数y=7x+9与y=3x，当x依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点? （提问学生,体会数列与函数的关系）
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
[范例讲解]课本P34-35例1
教师展示三种表示数列的方法（通项公式、列表、图象）。（可通过多媒体展示）
（三）课堂练习：课本P36[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
解：(1) ＝2n＋1； (2) ＝； (3) ＝；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴＝n＋；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴ ＝(－1)n(n＋1)
（四）课时小结
（1）本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
（2）对数列与函数的关系，你是怎样理解的？
（五）课后作业
课本P38习题2.1A组的第1，2，3题
附
习题A
选择题：
在数列中，是它的 ( )
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项
2、已知数列的一个通项公式为则= ( )
A. B.－ C. D.－
3、数列的一个通项公式= ( )
A. B. C. D.
4、数列11,13,15,17,…,2n＋1的项数是 ( )
A．n B. n－3 C. n－4 D.n－5
5、若=，则、的大小关系为 ( )
A．> B. < C. = D.不能确定
6、已知数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，53，…中，x= ( )
A．18 B.21 C.23 D.24
填空题：
7、已知=(n∈),则= 。
8、数列1,0, 的一个通项公式为 。
解答题：
9、写出以下数列的一个通项公式，使它的前几项是下列各数。
（1） （2）
（3）-2，0，-2，0，-2，0
10、数列｛｝中，已知=（n∈N*）
(1).写出；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项。
11、已知数列｛｝的一个通项公式为（n∈N*）
（1）画出数列｛｝的图象；（2）证明：当n≥4时数列｛｝是递增数列。
答案(A)
（B）将数列化为，则是该数列的第7项；
(A) ；
(B) 观察各项特点：；
(C) 猜想出通项公式得：；
(B) 做差比较大小或由在上的单调性得到；
(B) 从第3项起，各项均为前2项之和，即： ；
1；
所给数列改写成，数列分子是1，0的重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，故或；
（1）， （2）， （3）或或
（1）、；
（2）、由，得：，得：或
因为，所以，故是数列中的第15项；
11、解：（1）、列表
1
2
3
4
5
6
7
···
···
描点，得图像如右：（略）
习题B
一、选择题：
1．在数列中，是它的 ( )
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项
2、已知数列的一个通项公式为则= ( )
A. B.－ C. D.－
3、数列的一个通项公式= ( )
B. C. D.
4、数列11,13,15,17,…,2n＋1的项数是 ( )
A．n B. n－3 C. n－4 D.n－5
5、若=，则、的大小关系为 ( )
A．> B. < C. = D.不能确定
6、以下公式中：；
可以作为数列…通项公式的是 （ ）
A．、 B 、 C 、 D 
二、填空题：
7、数列1,0, 的一个通项公式为 。
8、已知数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，53，…中，x= 。
三、解答题：
9、写出以下数列的一个通项公式，使它的前几项是下列各数。
（1） （2）
（3）-2，0， -2，0，-2，0
10、数列｛｝中，已知=（n∈N*）
(1).写出；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项。
11、数列｛｝中，（n∈N*）其中f(x)=
（1）求。（2）。猜想数列｛｝的一个通项公式。
答案(B)
1、（B）将数列化为，则是该数列的第7项；
2、(A) ；
3、(B) 观察各项特点：；
4、(C) 猜想出通项公式得：；
5、(B) 做差比较大小或由在上的单调性得到；
6、(D)
7、所给数列改写成，数列分子是1，0的重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，故或；
8、从第3项起，各项均为前2项之和，即： ；
9、（1）， （2）， （3）或或
10、（1）、；
（2）、由，得：，得：或
因为，所以，故是数列中的第15项；
11、（1）.
(2). 猜想