高中数学必修五： 基本不等式（1）教学设计
文档属性
| 名称 | 高中数学必修五： 基本不等式（1）教学设计 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 153.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-07 22:34:43 | ||
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文档简介
3.3基本不等式
一．教学目标：
知识与技能：使学生了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能应用基本不等式解决简单的数学问题。
过程与方法：通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
情感态度与价值观：在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
二．教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
三．教学难点:发现并对基本不等式给出几何解释.
四．教学过程及设计意图：
（一）、动手操作，几何引入
问题1：你能用四块相同的三角形拼成一个空心或实心正方形吗？
【数学高度的抽象性和形式化特征，使其极易脱离现实生活.而作为知识的数学是现实的，心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动手开始.”作为教育的数学应该将数学教学当作活动来对待，让学生通过操作“实验”，以动促思。】
如图是2002年在北京召开的国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.该图形颜色的明暗看上去像个旋转的风车，既反映中国人在数学研究中的创新精神与中国古代数学家在数学领域的贡献，又代表中国人民的热情好客.
（二）、由形到数，以数释理
探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？
【一个有吸引力的话题能有效地促进学生信息加工，促进学生通过心理活动来内化整理知识，从“形”到“数”,从图形中获取数学信息，提出数学问题并加以解决。学生观察图形，有利于猜想、发现结论，培养学生的猜想能力】
在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么4个直角三角形的面积之和，正方形的边长为．于是，正方形的面积．
由图可知，即．
问题2： S1与S2是否相等，若相等，在什么情况下相等？
当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。
问题3：当a,b为任意实数时，不等式错误！未找到引用源。还成立吗？你能用代数方法给出证明吗？
【数学教学应鼓励学生从数学的角度进行分析与说理，引导学生探索推导，促使学生由“确信”向“证明”理性过渡.这样，学生获得的不仅是经验与逻辑相互统一的操作事实，还加深了对知识的理解；更重要的是学生在严格推理的基础上，既锻炼了思维，有自觉地“使自己受理性的指挥”，培养了勇于探索的理性精神.否则，缺少“数学化”经历和体验的数学教学过程，将使数学变成学生眼中高度抽象的“数字游戏”.】
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？
通过学生动手操作，探索发现：
证法1：对任意的实数a,b,由完全平方公式错误！未找到引用源。,得错误！未找到引用源。,即错误！未找到引用源。.当且仅当a=b时取等号.
证法2：（作差法）错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
重要不等式：
一般地，对于任意实数a、b，总有错误！未找到引用源。 ；当且仅当a=b时，等号成立
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
探究二：当a,b为正数时，用错误！未找到引用源。代替a,b你能得到什么结论？能用代数方法给出证明吗？
证法1：（作差法）略.
证法2：（分析法）：由于，于是
要证明 ，
只要证明 ，
即证 ，
即 ，该式显然成立，所以，当时取等号．
基本不等式：
对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.
我们通常把为正数的几何平均数；把为正数的算术平均数
基本不等式又可叙述为：
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
（三）、寓理于形，丰富内涵
探究三： 你能利用几何图形给出基本不等式的几何解释吗?
【进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性】
如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．
根据射影定理可得：
由于Rt中直角边斜边，
于是有
当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．
故而再次证明：
当时，（当且仅当时，等号成立）
基本不等式也可以叙述为：在圆中半径长不小于半弦长
在直角三角形中斜边上的中线长不小于斜边上的高
（四）、灵活变形，数学运用
【数学教学中例题具有巩固性和示范性的作用，是实现对知识的理解和应用的重要环节，它可以是理论知识的巩固和深化，或是理论知识的补充拓展和延伸，因此，立足教材知识，发挥例题和练习题的“迁移”功能，引导学生更全面、更深刻，在更大范围内对所学知识进行归纳、演变，揭示数学知识规律性的联系，使知识形成一个更加完整的知识网络.】
设为正数，证明不等式错误！未找到引用源。
证明：因a, b均为正数，由基本不等式，
可知错误！未找到引用源。
所以错误！未找到引用源。，当且仅当a=b时，等号成立
DE≤CD
例2、如图，在圆O上半圆中，设，OF⊥AB交上半圆与F,请你利用FC≥OF得出一个关于a,b的不等式，并用代数方法证明。
备注：
1.过C做CE垂直与OD与E，过O做OF垂直于AB交圆O于F，连接FC,计算DE和FC的长度分别为，在数学中称之为调和平均数和平方平均数。
2.大小关系，用不等号将，，连接起来.
由,.
基本不等式链：
错误！未找到引用源。
当且仅当a=b时，等号成立
（五）．课堂小结：
1.应用基本不等式时要注意不等式的结构特征、等式成立条件及等号成立条件．
适用范围
文字叙述
两数的平方和不小于它们积的2倍
两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数
“=”成立条件
2. 理解基本不等式的几何解释，体会数形结合思想；并会证明简单不等式；
3.体会不等式的灵活变形，形成基本不等式链。
（六）．作业：
1.教材，练习；
2.课时作业.
（七）．教学反思：本节课通过4个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。同时，以多媒体课件、几何画板、作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题并注意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果.
一．教学目标：
知识与技能：使学生了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能应用基本不等式解决简单的数学问题。
过程与方法：通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
情感态度与价值观：在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
二．教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
三．教学难点:发现并对基本不等式给出几何解释.
四．教学过程及设计意图：
（一）、动手操作，几何引入
问题1：你能用四块相同的三角形拼成一个空心或实心正方形吗？
【数学高度的抽象性和形式化特征，使其极易脱离现实生活.而作为知识的数学是现实的，心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动手开始.”作为教育的数学应该将数学教学当作活动来对待，让学生通过操作“实验”，以动促思。】
如图是2002年在北京召开的国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.该图形颜色的明暗看上去像个旋转的风车，既反映中国人在数学研究中的创新精神与中国古代数学家在数学领域的贡献，又代表中国人民的热情好客.
（二）、由形到数，以数释理
探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？
【一个有吸引力的话题能有效地促进学生信息加工，促进学生通过心理活动来内化整理知识，从“形”到“数”,从图形中获取数学信息，提出数学问题并加以解决。学生观察图形，有利于猜想、发现结论，培养学生的猜想能力】
在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么4个直角三角形的面积之和，正方形的边长为．于是，正方形的面积．
由图可知，即．
问题2： S1与S2是否相等，若相等，在什么情况下相等？
当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。
问题3：当a,b为任意实数时，不等式错误！未找到引用源。还成立吗？你能用代数方法给出证明吗？
【数学教学应鼓励学生从数学的角度进行分析与说理，引导学生探索推导，促使学生由“确信”向“证明”理性过渡.这样，学生获得的不仅是经验与逻辑相互统一的操作事实，还加深了对知识的理解；更重要的是学生在严格推理的基础上，既锻炼了思维，有自觉地“使自己受理性的指挥”，培养了勇于探索的理性精神.否则，缺少“数学化”经历和体验的数学教学过程，将使数学变成学生眼中高度抽象的“数字游戏”.】
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？
通过学生动手操作，探索发现：
证法1：对任意的实数a,b,由完全平方公式错误！未找到引用源。,得错误！未找到引用源。,即错误！未找到引用源。.当且仅当a=b时取等号.
证法2：（作差法）错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
重要不等式：
一般地，对于任意实数a、b，总有错误！未找到引用源。 ；当且仅当a=b时，等号成立
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
探究二：当a,b为正数时，用错误！未找到引用源。代替a,b你能得到什么结论？能用代数方法给出证明吗？
证法1：（作差法）略.
证法2：（分析法）：由于，于是
要证明 ，
只要证明 ，
即证 ，
即 ，该式显然成立，所以，当时取等号．
基本不等式：
对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.
我们通常把为正数的几何平均数；把为正数的算术平均数
基本不等式又可叙述为：
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
（三）、寓理于形，丰富内涵
探究三： 你能利用几何图形给出基本不等式的几何解释吗?
【进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性】
如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．
根据射影定理可得：
由于Rt中直角边斜边，
于是有
当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．
故而再次证明：
当时，（当且仅当时，等号成立）
基本不等式也可以叙述为：在圆中半径长不小于半弦长
在直角三角形中斜边上的中线长不小于斜边上的高
（四）、灵活变形，数学运用
【数学教学中例题具有巩固性和示范性的作用，是实现对知识的理解和应用的重要环节，它可以是理论知识的巩固和深化，或是理论知识的补充拓展和延伸，因此，立足教材知识，发挥例题和练习题的“迁移”功能，引导学生更全面、更深刻，在更大范围内对所学知识进行归纳、演变，揭示数学知识规律性的联系，使知识形成一个更加完整的知识网络.】
设为正数，证明不等式错误！未找到引用源。
证明：因a, b均为正数，由基本不等式，
可知错误！未找到引用源。
所以错误！未找到引用源。，当且仅当a=b时，等号成立
DE≤CD
例2、如图，在圆O上半圆中，设，OF⊥AB交上半圆与F,请你利用FC≥OF得出一个关于a,b的不等式，并用代数方法证明。
备注：
1.过C做CE垂直与OD与E，过O做OF垂直于AB交圆O于F，连接FC,计算DE和FC的长度分别为，在数学中称之为调和平均数和平方平均数。
2.大小关系，用不等号将，，连接起来.
由,.
基本不等式链：
错误！未找到引用源。
当且仅当a=b时，等号成立
（五）．课堂小结：
1.应用基本不等式时要注意不等式的结构特征、等式成立条件及等号成立条件．
适用范围
文字叙述
两数的平方和不小于它们积的2倍
两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数
“=”成立条件
2. 理解基本不等式的几何解释，体会数形结合思想；并会证明简单不等式；
3.体会不等式的灵活变形，形成基本不等式链。
（六）．作业：
1.教材，练习；
2.课时作业.
（七）．教学反思：本节课通过4个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。同时，以多媒体课件、几何画板、作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题并注意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果.