2.1.2 指数函数及其性质
课标要点
课标要点
学考要求
高考要求
1.指数函数的概念
b
b
2.指数函数的图象
c
c
3.指数函数的性质
c
c
4.利用函数图象解决问题
c
c
知识导图
学法指导
1.明确指数函数的概念，会求指数函数的解析式．
2．借助指数函数的图象来学习函数性质，学会用数形结合的方法解决有关问题．
3．在掌握指数函数的图象与性质的基础上，学会解决与指数函数有关的复合函数问题．
第1课时 指数函数及其性质
知识点一 指数函数的定义
函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．
指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
知识点二 指数函数的图象与性质
a>1
0
图象
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．
答案：D
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：要使函数有意义，
则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.
答案：B
4．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，则A∩B＝( )
A．? B．{x|0C．{x|1解析：依据函数y＝2x是增函数，可得B＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，则A∩B＝{x|2答案：D
类型一 指数函数概念的应用
例1 (1)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)等于________．
【解析】 (1)由指数函数的定义得解得a＝2.
(2)设y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.
【答案】 (1)C (2)64
(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1.
(2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点(－2，)求a，最后求值．
方法归纳
(1)判断一个函数是指数函数的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
跟踪训练1 (1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x ②y＝2x－1 ③y＝x ④y＝xx ⑤y＝3－ ⑥y＝x.
解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，
则解得a<且a≠1.
(2)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
答案：(1)(－∞，1)∪ (2)③
(1)指数函数系数为1.
(2)底数>0且≠1.
类型二 指数函数的图象问题
例2 (1)如图所示是下列指数函数的图象：
①y＝ax ②y＝bx
③y＝cx ④y＝dx
则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aC．1(2)当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．
【解析】 (1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.
(2)当a>0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．
【答案】 (1)B (2)(3，－1)
(1)先由a>1,0(2)由y＝ax过定点(0,1)来求f(x)过定点．
方法归纳
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
跟踪训练2 (1)已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
(2)若a>1，－1A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
解析：(1)由于0(2)∵a>1，且－1答案： (1)C (2)A,
由底数的范围判断函数图象．
类型三 指数函数的定义域、值域问题
例3 (1)函数y＝ 的定义域是( )
A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－2]
(2)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
【解析】 (1)由题意得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指数函数y＝x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.
(2)由f(x)的图象过点(2,1)可知b＝2，由f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，可知C正确．
【答案】 (1)C (2)C
(1)首先根式有意义，然后根据函数的单调性解指数不等式．
(2)根据函数的单调性求值域．
方法归纳
(1)对于y＝af(x)这类函数，
①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．
②值域问题，应分以下两步求解：
ⅰ由定义域求出u＝f(x)的值域；
ⅱ利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得此函数的值域．
(2)对于y＝(ax)2＋b·ax＋c这类函数，
①定义域是R.
②值域可以分以下两步求解：
ⅰ设t＝ax，求出t的范围；
ⅱ利用二次函数y＝t2＋bt＋c的配方法求函数的值域．
跟踪训练3 (1)求函数y＝的定义域与值域．
(2)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a.
解析：(1)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，≥0，又因为0<<1，所以y＝的值域为{y|0(2)①若a＞1，则f(x)在[1,2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a，所以a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去)．
②若0＜a＜1，则f(x)在[1,2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2，所以a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a的值为或.
(1)偶次根式被开方数大于等于0.
(2)先判断函数单调性，再求最值.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为( )
A．2 B．－2
C．－2 D．2
解析：∵函数f(x)是指数函数，∴a－3＝1，∴a＝8.
∴f(x)＝8x，f＝8＝2.
答案：D
2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.
答案：A
3．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是( )
A. B．[－1,1]
C. D．[0,1]
解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1.故选C.
答案：C
4．如果指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的单调减函数，那么a的取值范围是( )
A．a<2 B．a>2
C．1解析：由题意知0答案：C
5．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是( )
解析：需要对a讨论：
①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若指数函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝________.
解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
因为f(x)过点，
所以＝a－2，
所以a＝4.
所以f(x)＝4x，
所以f＝4－＝.
答案：
7．函数f(x)＝的值域为________．
解析：由1－ex≥0得，ex≤1，故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}，所以0答案：[0,1)
8．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(1,5)．
答案：(1,5)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
10．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝
解析：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2≠1；故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2.
故0<≤9，所以函数y＝的值域为(0,9]．
[能力提升](20分钟，40分)
11．函数y＝ax在区间[0,1]上的最大值和最小值的和为3，则函数y＝3ax－1在区间[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1
C．5 D.
解析：由于函数y＝ax在[0,1]上为单调函数，
所以有a0＋a1＝3，即a＝2.
所以函数y＝3ax－1，即y＝6x－1在[0,1]上单调递增，其最大值为y＝6×1－1＝5.故选C.
答案：C
12．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．
解析：因为2x＝a－1有负根，
所以x<0，
所以0<2x<1.
所以0所以1答案：(1,2)
13．求函数y＝x－3×x＋2，x∈[－2,2]的值域．
解析：y＝x－3×x＋2＝2x－3×x＋2，令t＝x，则y＝t2－3t＋2＝2－.
∵x∈[－2,2]，∴≤t＝x≤4，当t＝时，ymin＝－；当t＝4时，ymax＝6.
∴函数y＝x－3×x＋2，x∈[－2,2]的值域是[－，6]．
14．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解析：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴即
∴a＝±.
又a>1，∴a＝；
当0∴
即解得a∈?.
综上所述，实数a的值为.
课件28张PPT。第1课时 指数函数及其性质