第2课时 指数函数及其性质的应用
[小试身手]
1．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝2x D．y＝x3
解析：y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.
答案：D
2．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53
C．e2＜e D．0.90.2＞0.90.5
解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞0.90.5.
答案：D
3．已知y1＝x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为( )
解析：方法一 y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝x与y3＝10－x＝x单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
方法二 y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝x与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，所以选A.
答案：A
4．函数y＝2的值域为________．
解析：令u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以y＝2u≥2－1＝，
所以y＝2的值域为.
答案：
类型一 利用指数函数单调性比较大小
例1 (1)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
(2)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的关系为( )
A．m＋n＜0 B．m＋n＞0 C．m＞n D．m＜n
【解析】 (1)a＝0.771.2,0＜a＜1，b＝1.20.77＞1，c＝π0＝1，则a＜c＜b.
(2)因为0＜＜1，所以f(x)＝ax＝x在R上单调递减，
又因为f(m)＞f(n)，所以m＜n，故选D.
【答案】 (1)C (2)D
要比较大小，由指数函数的单调性入手．也可找中间量来比较．
方法归纳
比较幂值大小的三种类型及处理方法
跟踪训练1 比较下列各题中两个值的大小：
(1)－1.8与－2.5；
(2)－0.5与－0.5；
(3)0.20.3与0.30.2.
解析：(1)因为0<<1，所以函数y＝x在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5，所以－1.8<－2.5.
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝x与y＝x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得－0.5>－0.5.
(3)因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2.
底数相同，指数不同；
底数不同，指数相同；
底数不同，指数不同．
类型二 解简单的指数不等式
例2 (1)不等式3x－2＞1的解为________；
(2)若ax＋1＞5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
【解析】 (1)3x－2＞1?3x－2＞30?x－2＞0?x＞2，所以解为(2，＋∞)．
(2)因为ax＋1＞5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
【答案】 (1)(2，＋∞) (2)见解析
首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围．
方法归纳
解指数不等式应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
跟踪训练2 (1)解不等式≤3；
(2)已知(a2＋2a＋3)x>(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范围．
解析：(1) ＝(3－1) ＝3，
∴原不等式等价于 3≤31.
∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.
∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>1，
∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．
∴x>1－x，解得x>.
∴x的取值范围是.
(1)化成同底，确定指数函数的单调性．
(2)判断a2＋2a＋3的范围．,
类型三 指数函数性质的综合应用
例3 已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
【解析】 (1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1则f(x1)－f(x2)＝＝.
因为x1所以2－2<0，
又(1＋2)(1＋2)>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，
所以f(0)＝0，
即a－＝0，解得a＝.
所以f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
因为f(1)＝－＝，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
(1)用定义法证明函数的单调性需4步：
①取值；②作差变形；
③定号；④结论 .
(2)先由f(x)为奇函数求a，再由单调性求最小值．
方法归纳
(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；
(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．
跟踪训练3 已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明；
(3)求函数f(x)的值域．
解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋＝＋a·2x成立，即2x(1－a)＝·(1－a)，
所以1－a＝0，
所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x2，x2∈(0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝2＋－＝(2－2)＋＝(2－2)＋＝(2－2)＝(2－2)·，
因为x1所以2<2，2 >1，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)≥f(0)＝2.
故函数f(x)的值域为[2，＋∞)．
(1)由偶函数求a.
(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
(3)利用单调性求最值，得值域．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43
解析：因为π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1，所以0.43<π0<30.4，故选B.
答案：B
2．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x>0时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，
故选D.
答案：D
3．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是( )
解析：由1＞n＞m＞0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由n＞m可知应选C.
答案：C
4．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
解析：函数y＝x在R上为减函数，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞.
答案：B
5．设x＞0，且1＜bx＜ax，则( )
A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1
C．1＜b＜a D．1＜a＜b
解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1.
∵bx＜ax，∴x＞1，又x＞0，∴＞1，
∴a＞b，即1＜b＜a.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．三个数，，中，最大的是________，最小的是________．
解析：因为函数y＝x在R上是减函数，
所以>，
又在y轴右侧函数y＝x的图象始终在函数y＝x的图象的下方，
所以>.即>>.
答案：
7．函数y＝的单调增区间是________．
解析：令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.
当x≤2时，t随x增大而减小，
则y增大，即y＝的单调增区间为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
8．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝a－x＝x，
∵f(－2)>f(－3)，
∴－2>－3，即a2>a3.
∴a<1，即0答案：(0,1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1与1.8－0.2；
(2)1.90.3与0.73.1；
(3)a1.3与a2.5(a>0，且a≠1)．
解析：(1)由于1.8>1，所以指数函数y＝1.8x，在R上为增函数．所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因为1.90.3>1,0.73.1<1，所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3当0a2.5.
故当0a2.5，当a>1时，a1.310．函数f(x)＝的定义域为集合A，关于x的不等式2x>2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
解析：由≥0，解得x≤－2或x>1，
于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，
2x>2－a－x?2x>a＋x?2x因为A∩B＝B，所以B?A，所以a≤－2，
即a的取值范围是(－∞，－2]．
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在(0,2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
解析：对于函数f(x)＝ax，当x＝0时，f(0)＝a0＝1，当x＝2时，f(2)＝a2.
由于指数函数是单调函数，则有a2＞1，即a＞1.
所以函数f(x)的图象是上升的，且在x轴上方，结合选项可知B正确．
答案：B
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．
解析：设x<0，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1，当x>0时，1－2－x∈(0,1)，所以不等式f(x)<－，即当x<0时，2x－1<－，解得x<－1.
答案：(－∞，－1)
13．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解析：分情况讨论：
①当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，
∴a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
②当a＞1时，函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，
∴a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.
14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．若f(x)的图象如图所示，
(1)求a，b的值；
(2)解不等式f(x)≥2.
解析：(1)由图象得，点(1,0)，(0，－1)在函数f(x)的图象上，所以
解得
∴f(x)＝2x－2.
(2)f(x)＝2x－2≥2，
∴2x≥4，∴x≥2.
∴不等式的解集为[2，＋∞)．
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