第2课时 对数的运算
知识点一 对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)loga＝logaM－logaN，
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二 对数换底公式
logab＝(a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0)．
特别地：logab·logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
对数换底公式常见的两种变形
(1)logab·logba＝1，即＝logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．
(2)logNnMm＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( )
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )
(4)由换底公式可得logab＝.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．下列等式成立的是( )
A．log2(8－4)＝log28－log24 B.＝log2
C．log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24
解析：由对数的运算性质易知C正确．
答案：C
3.的值为( )
A. B．2
C. D.
解析：原式＝log39＝2.
答案：B
4．计算2log510＋log50.25的值为________．
解析：原式＝log5102＋log50.25
＝log5(102×0.25)＝log525＝log552＝2.
答案：2
类型一 对数运算性质的应用
例1 (1)若lg 2＝a，lg 3＝b，则＝( )
A. B.
C. D.
(2)计算：lg＋2lg 2－－1＝________；
(3)求下列各式的值．
①log53＋log5；②(lg 5)2＋lg 2·lg 50；③lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
【解析】 (1)＝＝＝.
(2)lg＋2lg 2－－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
(3)①log53＋log5＝log5＝log51＝0.
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
③原式＝lg 25＋lg 8＋lg·lg(10×2)＋(lg 2)2
＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2
＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.
【答案】 (1)B (2)－1 (3)见解析
(1)用对数运算性质把所求式化为用lg 2和lg 3表示的形式．
(2)用对数的运算性质求解．
(3)注意对数运算性质loga1＝0的综合应用．
方法归纳
(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)log318－log36； (2)log3＋2log2；
(3)log2＋log2； (4).
解析：(1)原式＝log3＝log33＝1.
(2)原式＝log3＋log4＝log12＝－1.
(3)原式＝log2[ ]
＝log2＝log2＝log24＝2.
(4)原式＝＝＝1.
利用对数运算性质化简求值．
类型二 对数换底公式的应用
例2 (1)已知2x＝3y＝a，则＋＝2，则a的值为( )
A．36 B．6 C．2 D.
(2)计算下列各式：
①log89·log2732；
②2lg 4＋lg 5－lg 8－－；
③64＋lg 4＋2lg 5.
【解析】 (1)因为2x＝3y＝a，
所以x＝log2a，y＝log3a，
所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2，
所以a2＝6，解得a＝±.
又a＞0，所以a＝.
(2)①log89·log2732＝·
＝·＝·＝.
②2lg 4＋lg 5－lg 8－＝lg 16＋lg 5－lg 8－＝lg－＝1－＝.
③64＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.
【答案】 (1)D (2)见解析
1．先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．
2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．
方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．
(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝logab.,
跟踪训练2 (1)式子log916·log881的值为( )
A．18 B. C. D.
(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于( )
A. B. C. D．以上都不对
解析：(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.
(2)原式＝·＝·＝×log32＝.
答案：(1)C (2)B
利用换底公式化简求值．
类型三 用已知对数表示其他对数
例3 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
解析：方法一 因为log189＝a，所以9＝18a.
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.
方法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝＝＝＝＝.
方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．
方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值．
方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
(3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练3 (1)已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示)
(2)①已知log147＝a,14b＝5，用a，b表示log3528；
②设3x＝4y＝36，求＋的值．
解析：(1)lg 5＝＝＝.
(2)①∵log147＝a,14b＝5，
∴b＝log145.
∴log3528＝＝＝＝.
②∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴＝＝＝log363，
＝＝＝log364，
∴＋＝2log363＋log364
＝log36(9×4)＝1.
答案：(1) (2)① ②1,
(1)利用换底公式化简．
(2)利用对数运算性质化简求值．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若a>0，a≠1，x>y>0，下列式子：
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.其中正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．
答案：A
2．化简log612－2log6的结果为( )
A．6 B．12
C．log6 D.
解析：log612－2log6＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.
答案：C
3．设lg 2＝a，lg 3＝b，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：＝＝＝.
答案：C
4．若log34·log8m＝log416，则m等于( )
A．3 B．9
C．18 D．27
解析：原式可化为log8m＝，＝，
即lg m＝，lg m＝lg 27，m＝27.故选D.
答案：D
5．若lg x＝m，lg y＝n，则lg－lg2的值为( )
A.m－2n－2 B.m－2n－1
C.m－2n＋1 D.m－2n＋2
解析：因为lg x＝m，lg y＝n，所以lg－lg2＝lg x－2lg y＋2＝m－2n＋2.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.
答案：4 －3
7．若log5·log36·log6x＝2，则x等于________．
解析：由换底公式，
得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
答案：
8.·(lg 32－lg 2)＝________.
解析：原式＝×lg＝·lg 24＝4.
答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：(1)；
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋21＋log25.
解析：(1)方法一 (正用公式)：
原式＝
＝＝.
方法二 (逆用公式)：
原式＝
＝＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·2log2＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2＝1＋2.
10．计算：(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
解析：(1)log1627log8132＝×
＝×＝×＝.
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
＝
＝
＝log32×log23＝××＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．设9a＝45，log95＝b，则( )
A．a＝b＋9 B．a－b＝1
C．a＝9b D．a÷b＝1
解析：由9a＝45得a＝log945＝log99＋log95＝1＋b，即a－b＝1.
答案：B
12．设4a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝________.
解析：由4a＝5b＝m，得a＝log4m，b＝log5m，
所以logm4＝，logm5＝，
则＋＝logm4＋logm5＝logm10＝1，
所以m＝10.
答案：10
13．求下列各式的值：
(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解析：(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64
＝÷2log62
＝[(log62)2＋(log62)2＋2·log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.
14．已知x，y，z均大于1，a≠0，logza＝24，logya＝40，log(xyz)a＝12，求logxa.
解析：由logza＝24得logaz＝，
由logya＝40得logay＝，
由log(xyz)a＝12得loga(xyz)＝，
即logax＋logay＋logaz＝.
所以logax＋＋＝，
解得logax＝，所以logxa＝60.
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