第1课时 对数函数的图象及性质
知识点一 对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是{x|x>0}．
形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
知识点二 对数函数的图象与性质
a>1
0
图
象
性
质
定义域(0，＋∞)
值域R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
知识点三 反函数
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R.( )
(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．( )
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝logx B．y＝log (x＋1)
C．y＝2logx D．y＝logx＋1
解析：形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．
答案：A
3．函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
解析：由题意，得解得0≤x<1；故函数y＝ln(1－x)的定义域为[0,1)．
答案：B
4．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．
解析：因为f(x)＝log2x在[2,3]上是单调递增的，
所以log22≤log2x≤log23，
即1≤log2x≤log23.
答案：[1，log23]
类型一 对数函数的概念
例1 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log6x.
【解析】 (1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠0)来判断．
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1 若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.
答案：1,
对数函数y＝logax系数为1.
类型二 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝log(x－2)(5－x)．
【解析】 (1)要使函数有意义，需即
∴－1∴函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数有意义，需∴
∴定义域为(2,3)∪(3,5)．,
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
方法归纳
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2 函数y＝的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(5,6]
C．(5，＋∞) D．(－∞，6]
解析：由得
∴5答案：B,
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0.
类型三 对数函数的图象问题
例3 (1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的( )
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________.
(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
【解析】 (1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.
(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
【答案】 (1)C (2) (3)b＞a＞1＞d＞c
(1)由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．
(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．
(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳
解决对数函数图象的问题时要注意
(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和.
跟踪训练3
(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
(2)函数y＝loga|x|＋1(0解析：(1)方法一 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，，故选A.
方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即，，，.故选A.
(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.
答案：(1)A (2)A
(1)增函数底数a＞1，
减函数底数0＜a＜1.
(2)先去绝对值，再利用单调性判断.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)
C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)
D．y＝ln x
解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
答案：D
2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1，x>0)，则2＝loga4＝loga22＝2loga2，即loga2＝1，a＝2.故所求解析式为y＝log2x.
答案：A
3．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．
答案：D
4．函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )
A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝xe
解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝ln x.
答案：C
5．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的( )
解析：由函数y＝loga(－x)有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，C.又当a＞1时，y＝ax为增函数，所以图象B适合．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.
解析：由对数函数的定义可知
，∴a＝5.
答案：5
7．已知函数f(x)＝log3x，则f＋f(15)＝________.
解析：f＋f(15)＝log3＋log315＝log327＝3.
答案：3
8．函数f(x)＝loga(2x－3)(a＞0且a≠1)，的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．
解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f(2)＝loga1＝0恒成立，所以函数f(x)的图象恒过定点P(2,0)．
答案：(2,0)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝log7.
解析：(1)∵当1－x>0，即x<1时，
函数y＝log3(1－x)有意义，
∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)由log2x≠0，得x>0且x≠1.
∴函数y＝的定义域为{x|x>0且x≠1}．
(3)由>0，得x<.
∴函数y＝log7的定义域为.
10．求出下列函数的反函数：
(1)y＝logx；
(2)y＝x；
(3)y＝πx.
解析：(1)对数函数y＝logx，它的底数为，所以它的反函数是指数函数y＝x；
(2)同理，指数函数y＝x的反函数是对数函数y＝logx；
(3)指数函数y＝πx的反函数为对数函数y＝logπx.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数为g(x)，且满足g(2)<0，则函数g(x＋1)的图象是下图中的( )
解析：由y＝ax解得x＝logay，
∴g(x)＝logax.
又∵g(2)<0，∴0故g(x＋1)＝loga(x＋1)是递减的，并且是由函数g(x)＝logax向左平移1个单位得到的．
答案：A
12．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使，即－3答案：(－3,0)
13．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2(x＋1)的图象？y＝log2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
解析：y＝log2xy＝log2(x＋1)，如图．
定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0,0)．
14．已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝x(－1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B；
(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B?C，求a的取值范围．
解析：(1)由题意知：
?x≥2，
所以A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}，
所以A∩B＝{2}．
(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，
若要使B?C，则有a－1≥2，所以a≥3.
即a的取值范围为[3，＋∞)．
课件24张PPT。