2.3 幂函数
课标要点
课标要点
学考要求
高考要求
1.幂函数的概念
a
a
2.幂函数的图象
b
b
3.幂函数的性质
b
b
知识导图
学法指导
1.能正确区分幂函数与指数函数．
2．学会以五个常见的幂函数为载体，研究一般幂函数的图象和性质．
3．会运用幂函数的图象和性质比较实数的大小.
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
知识点二 幂函数的图象与性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非
偶函数
奇函数
单调性
在R上
递增
在(－∞，0)
上递减，
在(0，＋∞)
上递增
在R上
递增
在(0，＋∞)
上递增
在(－∞，0)
和(0，＋∞)
上递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
幂函数在区间(0 , ＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．( )
(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( )
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：B
3．幂函数y＝f(x)经过点(2，)，则f(9)为( )
A．81 B.
C. D．3
解析：设f(x)＝xα，由题意得＝2α，∴α＝.∴f(x)＝x，∴f(9)＝9＝3，故选D.
答案：D
4．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
解析：∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.
答案：A
类型一 幂函数的概念
例1 (1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；
⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( )
A．1 B．－3 C．－1 D．3
(3)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝________.
【解析】 (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．
(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，
所以所以m＝1.
(3)设f(x)＝xα，所以＝3α，α＝－2，
所以f(4)＝4－2＝.
【答案】 (1)B (2)A (3)
(1)依据幂函数的定义逐个判断．
(2)依据幂函数的定义列方程求m .
(3)先设f(x) ＝xα，再将点(3 ，)代入求α .
方法归纳
(1)幂函数的判断方法
①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
(2)求幂函数解析式的依据及常用方法
①依据．
若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
②常用方法．
设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.,
跟踪训练1 (1)给出下列函数：
①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y＝＝x－3和y＝＝x符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．
(2)根据幂函数定义得m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
故f(x)＝x3.
答案：(1)B (2)f(x)＝x3
(1)利用幂函数定义判断．
(2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证．
类型二 幂函数的图象及应用
例2 (1)在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
(2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．
【解析】 (1)对A，没有幂函数的图象；对B，f(x)＝xa(x>0)中a>1，g(x)＝logax中0
0)中01，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x>0)中0(2)过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1,01时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n【答案】 (1)D (2)n(1)分01两种情况讨论 , 同时应注意幂函数的图象必过点(1,1)．
(2)依据α<0,0<α<1和α>1的幂函数图象的特征判断．
方法归纳
根据幂函数的图象比较指数的大小，可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断，也可利用特征，如令x＝2，作出直线x＝2与各图象的交点，由指数函数y＝2x的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系．
跟踪训练2 当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__________象限．
解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．
所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限．
答案：四,
要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点．
类型三 利用幂函数的性质比较大小
例3 (1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
(2)比较下列各组数中两个数的大小．
①与 ②3与3.1 ③与.
【解析】 (1)因为y＝x (x>0)为增函数，所以a>c.
因为y＝x(x∈R)为减函数，
所以c>b.所以a>c>b.
(2)①函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，又>，所以>.
②y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3>3.1.
③因为函数y1＝x为减函数，又>，
所以>.又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，
所以>，所以>.
【答案】 (1)A (2)见解析
(1)用函数y＝x的单调性判断a与c的大小，用函数y＝()x的单调性，判断c与b的大小．
(2)在解决与幂函数有关的比较大小的问题时，可借助幂函数、指数函数的单调性或取中间量进行比较．
方法归纳
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象．
跟踪训练3 比较下列各题中两个幂值的大小．
(1)3.11.3与2.91.3；
(2)与；
(3)与.
解析：(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3.
(2)方法一 函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又因为<，所以>.
方法二 ＝4，＝3.
而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以4>3，即>.
(3)因为<0＝1；
而>0＝1；
所以<.
(1)利用函数y＝x1.3的单调性来判断．
(2)利用函数y＝x－的单调性来判断．
(3)找中间量判断.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列结论正确的是( )
A．幂函数图象一定过原点
B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数
C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数
D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
解析：函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．
答案：D
2．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，)，可得＝3α，∴α＝，则幂函数f(x)＝x，∴f(8)＝8＝4.
答案：C
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为( )
A．－1,3 B．－1,1
C．1,3 D．－1,1,3
解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1,3.
答案：C
4．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是( )
解析：函数y＝x的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.
答案：D
5．已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
7．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
解析：∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.
答案：(－∞，0)
8．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x
1
f(x)
1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析：由表中数据知＝α，∴α＝，
∴f(x)＝x，
∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：{x|－4≤x≤4}
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
解析：(1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
10．比较下列各题中两个值的大小；
(1)2.3，2.4；
(2)()，()；
(3)(－0.31)，0.35.
解析：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，
∴2.3<2.4.
(2)∵y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且<，
∴()>().
(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31) ＝0.31.
又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，
∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b解析：由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.
综上所述，可知c答案：A
12．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则f(2)的值为________．
解析：因为幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，
则指数是偶数且大于0，
因为－m2－2m＋3＝－(m＋1)2＋4≤4，
因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，
所以m＝－1，即f(x)＝x4.
所以f(2)＝24＝16.
答案：16
13．比较下列各组数中两个数的大小．
(1)与；
(2)3与3.1；
(3)与；
(4)0.20.6与0.30.4.
解析：(1)函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，
又>，∴>.
(2)y＝x在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，∴3>3.1.
(3)函数y＝x是偶函数
∴＝
＝
∵y＝x在(0，＋∞)为减函数
>
∴<
∴<.
(4)函数取中间值0.20.4，函数y＝0.2x在(0，＋∞)上为减函数，所以0.20.6<0.20.4；
又函数y＝x0.4在(0，＋∞)为增函数，所以0.20.4<0.30.4.
∴0.20.6<0.30.4.
14．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：∵幂函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，
得解得1≤a<.
∴a的取值范围为.
课件29张PPT。