人教A版高中数学必修11.3.1函数的单调性教学设计（第一课时）

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修1第一章第三节函数的基本性质的第1课时《函数的单调性》.
函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势,是函数的一个基本性质.学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象，在此基础上学生对增减性有一个初步的感性认识，但是缺少严谨的数学语言描述，所以本节课是学生数学思想的一次重要提高。函数单调性是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一.


1.教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。
2.教学难点：函数单调性概念的符号语言的认知；应用定义证明单调性的代数推理论证。

一、创设情境，引入课题
（阅读教材，人教版节首内容，引导学生看图）结合上下楼的问题，引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。



观察图中的函数图象，随着函数自变量的增大（减小），你能得到什么信息？
二、归纳探索，形成概念

我们在学习函数概念时，了解了函数的定义域及值域，本节内容其实就是针对自变量与函数值之间的变化关系进行的专题研究之一──函数单调性的研究。



1.借助图象，直观感知
首先，我们来研究一次函数和二次函数的单调性。



师：在没有学习函数单调性的严格定义之前，函数的单调性可以理解为，



师：根据图象，请同学们写出你对这两个函数单调性的描述。

生：（独立完成，小组内互相检查，然后阅读教材，对比参照）。
[来源:]
2.抽象思维，形成概念

函数的性质离不开函数的定义域，在研究函数单调性时，我们也必须充分考虑到这一点，

在函数的定义区间上描述随着自变量值的变化，函数值的变化情况。

师：思考，如何利用函数解析式来描述函数随着自变量值的变化，函数值的变化情况？（注意函数的定义区间）

生：在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐减小；在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐增大。

师：如果给出函数，你能用准确的数学符号语言表述出函数单调性的定义吗?

生：（师生共同探究，得出增函数严格的定义）一般地，设函数的定义域为：

①如果对于定义域上某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；

②如果对于定义域上某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。
练习：

定义：如果函数在某个区间是增函数或是减函数，那么就是说函数在这个区间具有严格的单调性，这一区间叫做函数的单调区间。
探究. 画出反比例函数的图象。
1）这个函数的定义域I是什么？
2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。
三、典型例题
例1.下图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？


解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．


例2.物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大。试用函数的单调性证明之。

师：在解决完成这个例题后，根据解题步骤归纳总结用定义证明函数单调性的一般性算法步骤：设元、作差、变形、断号、定论。
达标检测
1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
【解析】 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．
【答案】 C
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)

【答案】 B
3．若x1，x2∈(－∞， 0)，且x1A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能
【解析】 ∵函数f(x)＝－在(－∞，0)上是增函数，又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1【答案】 B
4．已知函数f(x)＝ax＋2是减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】 易知函数f(x)＝ax＋2是一次函数，又因为它是减函数，所以a<0.
【答案】 (－∞，0)
5．证明函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．


在有限的课堂时间，使学生掌握利用数形结合的思想方法准确理解函数单调性的有关概念，加深对基本概念的认识。首先，展示一个学生都熟悉无比的情境，在这个情境中让学生直观地理解上升（递增）或下降（递减）的现象，然后针对课本所给的三个图象，结合情境中的直观现象，让学生描述这三个函数图象的特征。学生在描述函数图象特征（上升或下降）的时候较为顺利，但总觉得有错误，可又说不清理由。此时，教师指出：在叙述函数图像特征时要按照一定的标准，即观察的顺序应沿x轴正方向，自变量从左向右变化时，函数值（图像）的变化趋势，这样即可得到正确答案。学生在理解错误原因过程中亦得到了正确的研究方法。接下来，单刀直入地提出函数的单调性这个函数的性质。在直观上承认这一性质以后，由学生按学习小组，仿照刚才的分析去研究一次函数和二次函数的单调性。继而提出：图象特征如何转化为数学语言？经过学生探究思考，教师启发，学生归纳总结函数单调性的定义。结合图像，学生通过自主合作探索，自己给出了函数单调性的定义。然后让学生打开书本，与书上的表述比较，肯定他们的成果，并提示注意书本叙述的精确用语。本课学生印象深刻，理解深入，合作探究激发了学生的内驱力与自信心。