人教A版高中数学必修11.3.2函数的最值教学设计（第一课时）

1.教学重点：函数最大(小)值的定义和求法．
2.教学难点：如何求一个具体函数的最值．

复习回顾
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
二．问题导学
知识点一 函数的最大(小)值
思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？

答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．

知识点二 定义：
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
2.函数最小值的定义是：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
知识点三 函数的最大(小)值的几何意义
思考 函数y＝x2，x∈[－1,1]的图像如图所示：

试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．
答案 x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点．
梳理 一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
三．例题探究
例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)
解：作出函数h (t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象，如图所示，


【规律总结】1.解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论．
2.要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．
例2.已知函数 ，求这个函数的最大值和最小值。
解：设x1,x2是区间[3,5]上的任意两个实数，且x1所以f(x1)＞f(x2)
所以，函数在区间[3,5]上为减函数。因此，函数的最大值是f(3)=1，最小值是f(5)=0.5.
【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，先证明函数在[3，5]上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值.
达标检测
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是( )
A．－ B．－1 C. D．3
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数单调性求最值
答案 C
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用分式函数单调性求最值
答案 A
3．函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分别为( )
A．4,1 B．4,0
C．1,0 D．以上都不对
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数的最值
答案 B
4.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数的最值
答案 C