人教A版高中数学必修12.1.1指数与指数幂的运算教学设计（第二课时）

本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．

1.教学重点：n次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质．
2.教学难点：根式概念、n次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算．

知识梳理
1.
n为奇数，
n为偶数, [
正分数指数幂的意义：。
负分指数幂的意义：

题型探究
类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化
命题角度1 分数指数幂化根式
例1 用根式的形式表示下列各式(x>0)．
(1)(2)
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化
解 (1)＝.
(2)＝.
反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．
命题角度2 根式化分数指数幂
例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
(1)；(2)；(3)；(4).
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化

反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如＝＝－1，但就不是实数了．为了保证在取任何实数时，都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．
类型二 运用指数幂运算公式化简求值
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)．



考点 有理数指数幂的运算性质
题点 有理数指数幂的四则混合运算
解 (1)
＝()2＋ －＝0.09＋－＝0.09.
类型三 运用指数幂运算公式解方程
例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
考点 有理数指数幂的运算性质
题点 附加条件的幂的求值

反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的．
达标检测
1．化简的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化
答案 B
2．用分数指数幂表示(a>b)为( )
A． B．
C． D．
考点 根式与分数指数幂的互化
题点 根式与分数指数幂的互化
答案 C
3．以下说法中正确的是(以下n>1且n∈N＋)( )
A．正数的n次方根是一个正数
B．负数的n次方根是一个负数
C．任何数的n次方根都是正数
D．a的n次方根用表示
答案 A
4．()4等于( )
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2

5．计算的结果是( )
A．32 B．16 C．64 D．128
考点 利用指数幂的性质化简求值
题点 根式与分数指数幂的乘除运算
答案 B
小结
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质．
2．指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．