人教A版高中数学必修12.1.2指数函数及其性质教学设计（第二课时）

本节课是高中《数学必修一》（人教A版）第二章第二节《指数函数及其性质》的内容。函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数及其图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数、幂函数以及等比数列的性质打下坚实的基础，起到承上启下的作用。


1.教学重点：指数函数的概念、图象、性质及其运用。
2.教学难点：指数函数图象和性质的发现过程及图象与底的关系。

知识梳理
1.指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数。
2.指数函数有哪些特征？
答案：①底数：大于零且不等于1的常数；
②指数：自变量，且为单个；
③系数：1；
④项数：只有一项
3.指数函数的图像与性质：
函数
图
象
性
质
定义域
值域
定点
单调性
在上是减函数
在上是增函数
取值
情况
若，则
若，则
若，则
若，则
对称性
函数与的图象关于轴对称





















典题探究
类型一 指数函数的概念
例3.(1)下列一定是指数函数的是( )
A．y＝ax
B．y＝xa(a>0且a≠1)
C．y＝x
D．y＝(a－2)ax
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D．a>0且a≠1
【精彩点拨】 根据指数函数的定义判断、求解．

【答案】 (1)C (2)C
方法规律：1．指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1；
(4)指数函数不会是多项式，如y＝ax＋1 (a>0且a≠1)不是指数函数．
2．求指数函数的解析式常用待定系数法．
类型二 指数函数的定义域和值域
例2.求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
【精彩点拨】 ―→指数函数
【自主解答】 (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，
所以0≤1－3x<1.
所以∈[0,1)，
即函数y＝的值域为[0,1)．

(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
方法规律：
1．求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
类型三 与指数函数有关的最值或值域问题
例3.已知函数f(x)＝(a∈R)，且x∈R时，总有f(－x)＝－f(x)成立．
(1)求a的值；
(2)判断并证明函数f(x)的单调性；
(3)求f(x)在[0,2]上的值域．
【精彩点拨】 (1)根据条件建立方程关系即可求a的值；
(2)根据函数单调性的定义判断并证明函数f(x)的单调性；
(3)结合函数奇偶性和单调性的定义即可求f(x)在[0,2]上的值域．
【自主解答】 (1)∵f(－x)＝－f(x)，∴＝－，
即＝，∴a＝1，∴f(x)＝.

方法规律：
1．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．
2．证明指数函数与其它函数复合而成的函数的单调性，一般用函数单调性的定义进行．
三．达标检测
1．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
【解析】 ∵f(x)＝|x|，x∈R，∴f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，故f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)＝x，是减函数，故选D.
【答案】 D
2．下列判断正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
【解析】 ∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则常数a＝______.
【解析】 ∵函数f(x)＝＋a为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝0，＋a＝0，a＝－.
【答案】 －
4．函数y＝2|x|的单调减区间是________．

【答案】 (－∞，0]．
5．设函数f(x)＝a－，
(1)判断并说明函数的单调性；
(2)确定a的值，使f(x)为奇函数及此时f(x)的值域．
【解】 (1)任取x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，
∵x1＜x2，∴2 x1＜2 x2，
即2 x1－2 x2＜0，
又∵2 x1＋1＞0,2 x2＋1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴不论a为何值，f(x)总为增函数．
(2)∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，a－＝－a＋，
解得a＝1，故f(x)＝1＋在其定义域内是增函数，
当x趋向－∞时，2x＋1趋向1，f(x)趋向－1，
当x趋向＋∞时，2x＋1趋向＋∞，f(x)趋向1，
∴f(x)的值域(－1,1)．