人教A版高中数学必修12.3幂函数教学设计（第二课时）

本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用: 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数, 类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法后研究幂函数的图象和性质.而且在研究幂函数的过程中对第二章函数的单调性、奇偶性和反函数的知识进行再现.


1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质。
2.教学难点：从幂函数的图象中概括其性质。

一、复习引入
（1）幂函数的定义及性质

总结填写下表：
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
二、讲授新课
问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？
（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝．

问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？
（1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝．
思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．
总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．
［例1］讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．


［例2］比较下列各组中两个数的大小：
（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2），（－1.25）．
解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，
∵1.5＜1.7 ∴1.5＜1.7
（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．
（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
∵（－1.2）＝1.2，（－1.25）＝1.25，又1.2＞1.25
∴（－1.2）＞（－1.25）
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
［例3］求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．

点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
三、课时小结
通过本节学习，大家能熟悉并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力.