2.1 平面向量的实际背景及基本概念
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．
答案：D
2．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
答案：D
3．下列命题中，正确的是( )
A．|a|＝|b|?a＝b B．|a|>|b|?a>b
C．a＝b?a∥b D．|a|＝0?a＝0
解析：由零向量的定义，可知D选项是正确的，故选D.
答案：D
4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：由平面几何知识知，与方向不同，
故≠；与方向不同，故≠；
与的模相等而方向相反，故≠.
与的模相等且方向相同，∴＝.
答案：D
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：由＝，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
7.
如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与平行的向量为，，，，其中方向相反的向量为，.
答案：，
8．给出下列命题：
①若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②在?ABCD中，一定有＝；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中所有正确命题的序号为________．
解析：＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在?ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确；对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．
答案：②③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
10．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解析：(1)如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，
故与共线，即AB∥CD.
又||＝||，
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以||＝||＝200(千米)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A.＝ B.∥
C．||＝|| D.＝
解析：由题图可知，||＝||，但、不共线，故≠，故选D.
答案：D
12．给出下列三个条件：①|a|＝|b|；②a与b方向相反；③|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________．
解析：由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即①不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即②能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是②③.
答案：②③
13．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？
解析：
如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则||＝1 400 km.
表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则||＝1 400 km.
所以为飞机从A地到C地的位移．
在△ABC中，AB＝BC＝1 400 km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，
故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400 km.
所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1 400 km.
14．如图，在△ABC中，已知向量＝，＝，求证：＝.
证明：由＝，可得DF＝EC且DF∥EC，
故四边形CEDF是平行四边形，从而DE∥FC.
∵＝，∴D为AB的中点．
∴＝，∴＝.
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