2.2.2 向量减法运算及其几何意义
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
向量加法的定义及其几何意义
b
b
向量加法的交换律与结合律
b
b
相反向量的概念
a
a
向量减法的定义及其几何意义
b
b
知识导图
学法指导
1.向量的加法运算可以类比实数的加法运算，以位移的合成、力的合成两个物理模型为背景引入．而向量的减法运算是通过类比实数的减法运算引入的．
2．由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，还要考虑方向问题．
第1课时 向量加法运算及其几何意义
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫作向量的加法．
2．向量加法的运算法则
(1)三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.
(2)平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
3．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示： ＝＋(平行四边形法则)，
又∵ ＝，∴ ＝ ＋(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
2．向量＋与非零向量，的模及方向的联系
(1)当向量与不共线时，向量＋的方向与，都不相同，且|＋|<||＋||，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量与同向时，向量＋与(或)方向相同，且|＋|＝||＋||.
(3)当向量与反向时，且||≤||时，＋与方向相同(与方向相反)，且|＋|＝||－||.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＋0＝a.( )
(2)a＋b＝b＋a.( )
(3)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.( )
(4)＋＝2.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A. B.
C. D.
解析：＋＝.
答案：D
3．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＝
B.＋＝
C.＝＋
D.＋＝0
解析：因为＝＋≠＋，故C错误．
答案：C
4．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同 B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b D．a、b无论什么关系均可
解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．
答案：A
类型一 已知向量作和向量
例1 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【解析】 方法一 可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
① ②
方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即即为所求.
利用三角形法则或,平行四边形法则
→先作出两个向量,的和向量
→再作出三个向量的和向量
方法归纳
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点．
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.
解析：方法一 如图(1)，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c.
方法二 如图(2)，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；
再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c.
本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形法则．
类型二 向量的加法运算
例2 化简：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
【解析】 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝＋＝.
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解．
方法归纳
向量运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．
跟踪训练2 化简：
(1)＋＋；
(2)(＋)＋＋.
解析：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝0.
(2)方法一 (＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二 (＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.
方法三 (＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝.
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 如
(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)；＋＋＋＋＝[＋(＋)]＋(＋)．
类型三 向量加法的实际应用
例3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．现有一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.
(1)试用向量表示水速、船速及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水速之间的夹角表示，精确到度)．
【解析】 (1)如图所示，表示船速，表示水速，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则表示船实际航行的速度．
(2)在Rt△ABC中，||＝2，||＝5，所以||＝＝≈5.4.
因为tan∠CAB＝2.5，由计算器得∠CAB≈68°，
所以船实际航行速度的大小约为5.4 km/h，方向与水速间的夹角约为68°.
表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，表示水流速度，以AD，AB为邻边作?ABCD，则就是船的实际航行速度．
跟踪训练3 本例中若该船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4 km/h，求水速大小．
解析：由题意，||2＋||2＝||2，故||2＋(2)2＝42，解得||＝2，故水速大小为2 km/h.
结合例题中的图形，由勾股定理得||.
2.2.1-2.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.
答案：A
2．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a
B.＋＋＝0
C.＋＝0
D.＋＝＋＋
解析：＋＋＝＋＝2≠0，故B错．
答案：B
3．设a表示“向东走5 km”，b表示“向南走5 km”，则a＋b表示( )
A．向东走10 km B．向南走10 km
C．向东南走10 km D．向东南走5 km
解析：
如图所示，＝a＋b，||＝5，||＝5，且AB⊥BC，则||＝5，∠BAC＝45°.
答案：D
4．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
解析：如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
答案：A
5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a＝＋，由a和长度相等，方向相同，得a＝，即＋＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝________.
解析：由向量加法的三角形法则，得＋＝，即a＋b＋c＝＋＋＝0.
答案：0
7．化简(＋)＋(＋)＋＝________.
解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
8．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，
又∵||＝1，∴||＝1，|＋|＝||＝1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
解析：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1)；
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)；
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)．
10.
如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋.
解析：(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由图可知，＝＝＝，所以＋＝＋＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．设a＝(＋C)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的有( )
①a∥b ②a＋b＝a
③a＋b＝b ④|a＋b|<|a|＋|b|
⑤|a＋b|＝|a|＋|b| ⑥|a＋b|>|a|＋|b|
A．①②⑥ B．①③⑥
C．①③⑤ D．③④⑤⑥
解析：a＝＋＋＋＝0
又b为非零向量，故①③⑤正确．
答案：C
12.
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，则A和B处所受力的大小为________(绳子的重量忽略不计)．
解析：如图，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
所以||＝||cos 30°＝10×＝5.
||＝|CG|cos 60°＝10×＝5.
所以A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.
答案：5 N,5 N
13．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解析：如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
14．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
解析：如图，作?OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且||＝300 N.
所以||＝||cos 30°＝150(N)，
||＝||cos 60°＝150 (N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
课件31张PPT。第1课时 向量加法运算及其几何意义
