第2课时 向量减法运算及其几何意义
1.相反向量
与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.
(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝0.
(3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
2．向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
1.准确理解向量减法的几何意义
(1)向量减法是向量加法的逆运算．
设＋＝，则＝－，
如图，设 ＝， ＝.
由向量加法的三角形法则可知
＝ ＋，
∴ ＝ － ＝－.
(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．
(3)以向量＝，＝为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝＋， ＝－， ＝－.
2．若，是不共线向量，|＋|与|－|的几何意义比较，如图所示，设＝，＝.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝＋，＝－.因为四边形OACB是平行四边形，所以|＋|＝||，|－|＝||分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( )
(2)向量a－b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量．( )
(3)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
解析：零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.
答案：A
3．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：＝－＝－－＝－a－b.
答案：D
4.－＝________.
解析：－＝.
答案：
类型一 已知向量作差向量
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【解析】 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，则＝b－c.过点A作AD綊BC，连接OD，则＝b－c，所以＝＋＝a＋b－c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，则＝a＋b－c.
方法三 如图③，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
方法归纳
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解析：如图所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量＝(a－b)－c.则向量即为所求作的向量a－b－c.
先作－，再作－－.
类型二 向量的减法运算
例2 化简(－)－(－)．
【解析】 方法一(统一成加法) (－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
方法二(利用－＝) (－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
方法三(利用＝－) 设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.
方法归纳
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
跟踪训练2 在四边形ABCD中，－－＝________.
解析：－－＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
答案：
结合图形利用减法运算法则求．
类型三 利用已知向量表示未知向量
例3 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
【解析】 因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，故＝＋＝b－a＋c.
由平行四边形的性质可知 ＝ ＝，由向量的减法可知： ＝ －，由向量的加法可知 ＝ ＋.
方法归纳
利用已知向量表示其他向量的思路
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即＝＋以及＝－(M，N均是同一平面内的任意点)．
跟踪训练3 本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解析：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c.
第一步：观察各向量的位置．
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形．
第三步：运用法则找关系．
第四步：化简结果．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列运算中正确的是( )
A.－＝ B.－＝
C.－＝ D.－＝0
解析：根据向量减法的几何意义，知－＝，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，－应该等于0，而不是0.
答案：C
2．下列四式中不能化简为的是( )
A.＋(＋) B．(＋)＋(－)
C.－＋ D.＋－
解析：D中，＋－＝－＝＋不能化简为，其余选项皆可．
答案：D
3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A. B.
C. D.
解析：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝.
答案：C
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：＝＋＋＝a－b＋c.
答案：A
5．给出下列各式：
①＋＋；
②－＋－；
③－－；
④－＋＋.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：①＋＋＝＋＝0；
②－＋－＝＋－(＋)＝－＝0；
③－－＝＋＋＝＋＝0；
④－＋＋＝＋＋－＝＋＝0.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.＋－＝________.
解析：＋－＝＋＝.
答案：
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线同向，所以|a－b|＝2.
答案：0 2
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，∵|＋|＝|－|，平行四边形ABCD为矩形，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解析：在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量a－b＝，再作向量＝c，则向量＝a－b－c.
10．化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
解析：(1)方法一 原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二 原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.
(2)方法一 原式＝－＝.
方法二 原式＝－(＋)＝－＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.
因为|m|＝|n|，
所以||＝||.
所以四边形ABCD是矩形，
所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
答案：C
12．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中正确命题的序号为________．
解析：①因为＋＝，
所以＝－，正确；
②－＝，所以＋＝，正确；
③因为＝－，所以－＝，正确；
④－＝－－，所以＝＋，正确．
答案：①②③④
13.
如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝a＋d＋e.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
14．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
解析：设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
课件26张PPT。
