2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
向量的数乘运算
c
c
向量数乘运算的几何意义
b
b
知识导图
学法指导
1.与实数乘法的运算律类似，向量数乘也有“结合律”、“分配律”．运用向量数乘的运算律时，要注重其几何意义．
2．向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算，其中，向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础．
3．向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的，它可以判断几何中三点共线和两直线平行，注意区别向量平行与直线平行．
4．学习了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以用向量表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.
1.向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
(3)当λ＝0时，λa＝0.
理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．
2．数乘向量的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝0，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a，则λ＋a与λ－a的和是向量．( )
(2)对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反．( )
(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( )
(4)若b与a共线，则存在实数λ，使得b＝λa.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有( )
A．a与b方向相同 B．a与b方向相反
C．|a|＝|3b| D．|a|＝|b|
解析：因为－3<0，所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选B.
答案：B
3．化简：＝( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，选B.
答案：B
4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( )
A．4e2 B．4e1
C．3e1＋6e2 D．8e2
解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
类型一 向量的线性运算
例1 (1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)．
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
【解析】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j.
(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．
方法归纳
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 化简：
(1)－2；
(2).
解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)原式＝＝4－a＋－3＋＋b＝＝a－b.
先由运算律去括号，再进行数乘运算．
类型二 向量共线条件的应用
例2 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
【解析】 (1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
所以，共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，
只能有所以k＝±1.
(1)欲证三点A，B，D共线，即证存在实数λ，使＝λ，只要由已知条件求出λ即可．
(2)由两向量共线，列出关于1、2的等式，再由1与2不共线知，若λ1＝μ2，则λ＝μ＝0.
方法归纳
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
跟踪训练2 (1)已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于( )
A.－9
B．－4
C．4
D．9
(2)设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.10
B．－10
C．2
D．－2
解析：(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.
由于e1，e2不共线，所以所以λ＝－4.
(2)因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.
答案：(1)B (2)C
(1)由，共线，得＝m，建立等式求λ.
(2)A、B、D三点共线，设＝λ，建立等式求k .
类型三 用已知向量表示其他向量
例3 如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________.
【解析】 因为∥，||＝2||，所以 ＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
【答案】 (1)e2＋e1 (2)e1－e2
结合图形：由已知得＝2，分别用1，2表示，.
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练3 在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.
解析：因为＝＋＋，＝＋＋，所以2＝(＋)＋＋＋(＋)．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以＋＝0，＋＝0.
所以2＝＋，所以＝(－－)＝－e2－e1.
结合图形，在梯形ABCD中，＝＋＋，再用1, 2表示.
2.2.3
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：如图，＝3，所以＝2.
答案：D
3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：A
4.
如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A．a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：D
5．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝( )
A. B.
C. D.
解析：＝－＝－＝3e2－2e1，
＝＝e2－e1.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
解析：由于|a|＝4，b＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.
答案：2
7．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.
答案： －
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，
∴|λ|＝，即λ＝±.
答案：±
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算
(1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解析：(1)原式＝a＋b
＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
10．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解析：如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，EP是中位线，
所以＝＝a.
在△ABD中，FP是中位线，所以＝＝－＝－b.
在△EFP中，＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
解析：＝＋＝＋＋＝＋＝＋(－)＝－＋，故选A.
答案：A
12．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________.
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，
那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
13．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e、f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
解析：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
14．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线，求证：存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．
证明：由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)．
因为A，D，E三点共线，所以可设＝μ，
则＝(＋)．令λ＝，可得＝λ(＋)．
所以，存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．
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