(共35张PPT)
3.1
《变化率与导数》
了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵
教学重点：
导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵
教学目标
变化率问题
问题1
气球膨胀率
问题2
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是
引导：
这一现象中，哪些量在改变？
变量的变化情况？
引入气球平均膨胀率的概念
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了
r(1)－r(0)=
0.62
当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了
r(２)－r(１)=
0.１６
这一现象中，哪些量在改变？
变量的变化情况？
引入气球平均膨胀率的概念
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率
设某个变量
f
随
x
的变化而变化，
从
x
经过
△x
，
量
f
的改变量为
量
f
的平均变化率为
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度——瞬时速度．
2．
瞬时速度
平均速度的概念
已知物体作变速直线运动，其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移，t
表示时间)，求物体在
t0
时刻的速度．
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是
s
=s(t
)，那么物体在时刻t
的瞬时速度v，就是物体在t
到
t+Dt
这段时间内，当
Dt?0
时平均速度．
例
物体作自由落体运动，
运动方程为：
，其中位移
单位是m
，时间单位是s
，g=9.8m/s2．
求：(1)
物体在时间区间
[2，2.1]上的平均速度；
(2)
物体在时间区间[2，2.01]上的平均速度；
(3)
物体在t
=2时的瞬时速度.
瞬时速度
高台跳水
Δt
Δt
-0.1
-12.61
0.1
-13.59
-0.01
-13.051
0.01
-13.149
-0.001
-13.0951
0.001
-13.1049
-0.0001
-13.009951
0.0001
-13.10049
-0.00001
-13.099951
0.00001
-13.100049
高台跳水
导数的概念
导数的概念
也可记作
若这个极限不存在，则称在点x0
处不可导。
例:
高台跳水运动中，
秒
时运动员相
对于水面的高度是
（单位：
），求运动员在
时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在
呢?
同理，
运动员在 时的瞬时速度为
，
上升
下落
这说明运动员在 附近，正以大约
的速率
。
１．你能借助函数 的图象说说平均变化率
表示什么吗？请在函数
图象中画出来．
割线AB的的变化情况
２．在
的过程中，
请在函数图象中画出来．
你能描述一下吗？
3.1.1
导数的几何意义
圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以
用在点P处的切线近似代替
。
大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”
（以简单的对象刻画复杂的对象）
1.在函数
的
图像上，(1)用图形来体现导数
，
的几何意义.
(2)请描述，比较曲线分别在
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在
附近呢？
(2)请描述，比较曲线分别在
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在
附近呢？
增（减):
增（减）快慢：
=切线的斜率
附近：
瞬时
变化率
（正或负）
即：瞬时变化率（导数）
（数形结合，以直代曲）
画切线
即：导数
的绝多值的大小
=切线斜率的绝对值的
大小
切线的倾斜程度
（陡峭程度）
以简单对象刻画复杂的对象
(2)
曲线在
时，切线平行于x轴，曲线在
附近比较平坦，几乎没有升降．
曲线在
处切线
的斜率
0
在
附近，曲线
，函数在
附近单调
如图，切线
的倾斜程度大于切线 的
倾斜程度，
大于
上升
递增
上升
这说明曲线在
附近比在 附近
得迅速．
递减
下降
小于
下降
2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)
（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）
变化的函数图像，根据图像，估计
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中
药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格
的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率,
就是药物浓度
从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率.
函数f(t)在此时刻的导数,
（数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
抽象概括：
是确定的数
是 的函数
导函数 的概念：
t
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度的
瞬时变化率
小结：
１.函数
在
处的导数
的几何意义，就是函数
的图像在点
处的切线AD的斜率（数形结合）
＝切线
AD的斜率
3.导函数(简称导数)
2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学
思想方法。
以简单对象刻画复杂的对象3.1.1
变化率问题
一、【学习目标】
理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。
二、【新知探究】
平均变化率概念:
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?
直线AB的斜率
三、【例题精讲】
例1：已知质点按照规律（距离单位：，时间单位：）运动，求：
（1）质点开始运动后3秒内的平均速度；[]
（2）质点在2秒到3秒内的平均速度。
例2：求函数在区间和的平均变化率。
变式1：求函数在区间（或）的平均变化率，并探索表达式的值（平均变化率）与函数图象之间的关系。
变式2：过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率。
四、【课后巩固】
1.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为
（ ）
A.
B.
C.
D.
2.一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为（ ）
A．－4
B．－8
C．6
D．－6
3.将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的表面积增加等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4.在曲线的图象上取一点（1,2）及附近一点，则为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位：m）与起跳后时间t（单位：s）的函数关系是，则下列说法不正确的是
（ ）
A．在这段时间里，平均速度是
B．在这段时间里，平均速度是
C．运动员在时间段内，上升的速度越来越慢
D．运动员在内的平均速度比在的平均速度小
6．函数的平均变化率的物理意义是指把看成物体运动方程时，在区间内的
7．函数的平均变化率的几何意义是指函数图象上两点、连线的
8．函数在处有增量，则在到上的平均变化率是
9．正弦函数在区间和的平均变化率哪一个较大？
10．在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度（单位：孤度）由函数（单位：秒）给出
（1）求t＝2秒时，P点转过的角度
（2）求在时间段内P点转过的平均角速度，其中①，②③
3.1.2
导数的概念
一、【学习目标】
[]
1.了解瞬时速度，瞬时变化率（导数）的定义。
2.掌握瞬时速度，瞬时变化率的求法。
二、【复习引入】
1．瞬时速度：
物体在时的瞬时速度就是运动物体在到一段时间内的平均速度，当时的极限，即
2．导数的概念：
在处的导数的定义：一般地，在处的瞬时变化率是
我们称之为在处的
记作或即
3．求导数的步骤：
①求函数的增量：
②求平均变化率：
③取极限，得导数：
上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限。
三、【新知探究】
1．掌握求导方法:
例：（1）以初速度为做竖直上抛运动的物体，秒时的高度为，求物体在时刻处的瞬时速度。
（2）求在到之间的平均变化率。
（3）设+1，求，，
2.掌握瞬时变化率的求法及实际意义：
例：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热。如果在第h时原油的温度为
.计算第2
h和第6
h时，原油的瞬时变化率，并说明意义。
四、【随堂练习】
1．自变量由变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（
）
A．在区间上的平均变化率
B．在处的变化率
C．在处的变化率
D．在区间上的导数
2．下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．设，若，则的值（
）
A．2
B．－2
C
．3
D．－3
4．任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是
（
）
A．0
B．3
C．－2
D．
5．函数，
在处的导数是
6．，当时
，
7．设圆的面积为A，半径为，求面积A关于半径的变化率。
3．掌握导数定义及变形:
8．（1）已知在处的导数为,求及的值。
（2）若,求的值.
9．枪弹在枪筒中运动可以看作匀速运动，如果它的加速度是，枪弹从枪口，射出的时间为，求枪弹射出枪口时的瞬时速度。
4．掌握瞬时速度的求法:
（选作）某一物体的运动方程如下：
，求此物体在和时的瞬时速度。
五、【课后巩固】
1．一物体的运动方程是，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为
（
）
A．0.41
B．3
C．4
D．4.1
2．设函数可导，则等于
（
）
A．
B．不存在
C．
D．以上都不对
3．设，则等于
（
）
A．
B．
C．
D．
4．若，，则的值是
（
）
A．1
B．－1
C．
D．
5．设函数，若，则__________。
6．求函数的瞬时变化率。
7．设一物体在秒内所经过的路程为米，并且，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度。
8．已知，求适合的的值。
3.1.3
导数的几何意义
一、【学习目标】
1．通过作函数图像上过点的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程。[]
2．掌握函数在某一处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义。
3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程。
二、【复习引入】
1．对于函数的曲线上的定点和动点，直线称为这条函数曲线上过点的一条__________；其斜率＝_________________；当时，直线就无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过P点的__________；其斜率＝________________=___________________（其中），切线方程为________________________________；过函数曲线上任意一点的切线最多有__________条，而割线可以作_______条。
2．函数的平均变化率的几何意义是___________________________；函数的导数的几何意义是______________________________。
3．当函数在处的导数，函数在附近的图像自左而右是__________的，并且的值越大，图像上升的就越________；当函数在处的导数，函数在附近的图像自左而右是__________的，并且的值越小，图像下降的就越________；，函数在附近几乎______________________。
三、【例题精讲】
例1.如图（见课本.5），试描述函数在附近的变化情况。
变式
：根据下列条件，分别画出函数图像在这点附近的大致形状：
（1）；（2）；（3）。
例2．如图（见课本.6）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。
变式：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
例3．已知曲线上的一点，求（1）点P处切线的斜率；（2）点P处的切线方程。
[]
变式：已知曲线，求与直线垂直，并与该曲线相切的直线方程。
四、【随堂练习】
1．曲线在处的
（
）
A．切线斜率为1
B．切线方程为
C．没有切线
D．切线方程为
2．已知曲线上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（
）
A．4
B．16
C．8
D．2
3．函数在处的导数的几何意义是
（
）
A．在点处的函数值
B．在点处的切线与轴所夹锐角的正切值
C．曲线在点处的切线的斜率
D．点与点（0，0）连线的斜率
4．已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为
（
）
A．－1
B．1
C．－2
D．2
5．若，则＝
（
）
A．－3
B．－6
C．－9
D．－12
6．设为可导函数，且满足条件，则曲线在点（1，1）处的切线的斜率为
（
）
A．2
B．－1
C．
D．－2
7．
已知曲线上的两点A（2，3），，当时，割线AB的斜率是__________，当时，割线AB的斜率是__________，曲线在点A处的切线方程是________________________。
8．如果函数在处的切线的倾斜角是钝角，那么函数在附近的变化情况是__________________。
9．在曲线上过哪一点的切线，（1）平行于直线；
（2）垂直于直线；（3）与轴成的倾斜角；
（4）求过点R（1，－3）与曲线相切的直线。
五、【课后巩固】
1．一木块沿某一平面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系为，则秒时，此木块在水平方向上的瞬时速度为（
）
A．2
B．1
C．
D．
2．已知曲线上一点P，则过点P的切线的倾斜角为（
）
A．
B．
C．
D．
3．曲线在P点处的切线平行于直线，则此切线方程为
（
）
A．
B．
C．
D．或
4．已知曲线在点P（1，4）处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为
（
）
A．或
B．
C．或
D．以上都不对
5．曲线与在他们交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积为_______。
6．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则的值为___________。
7．已知曲线。
（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与C是否还有其它的公共点。
8．已知曲线上两点。
求：（1）曲线在P点、Q点处的切线的斜率；
（2）曲线在P、Q点的切线方程。
9．已知点M（0，－1），F（0，1），过点M的直线与曲线在处的切线平行。
（1）求直线的方程；
（2）求以点F为焦点，为准线的抛物线C的方程。
10．判断下列函数在的切线是否存在，若存在，求出切线方程，否则说明理由。
（1）；（2）；（3）；（4）。
[]
y
y=f(x)
f(x2)
△y
=f(x2)-f(x1)
f(x1)
△x=
x2-x1
x
O
x2
x1(共36张PPT)
3.1
《变化率与导数》
教学目标
了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵
教学重点：
导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵
变化率问题
问题1
气球膨胀率
问题2
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是
引导：
这一现象中，哪些量在改变？
变量的变化情况？
引入气球平均膨胀率的概念
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了
r(1)－r(0)=
0.62
当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了
r(２)－r(１)=
0.１６
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率
设某个变量
f
随
x
的变化而变化，
从
x
经过
△x
，
量
f
的改变量为
量
f
的平均变化率为
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度——瞬时速度．
2．
瞬时速度
平均速度的概念
已知物体作变速直线运动，其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移，t
表示时间)，求物体在
t0
时刻的速度．
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是
s
=s(t
)，那么物体在时刻t
的瞬时速度v，就是物体在t
到
t+Dt
这段时间内，当
Dt?0
时平均速度．
例
物体作自由落体运动，
运动方程为：
，其中位移
单位是m
，时间单位是s
，g=9.8m/s2．
求：(1)
物体在时间区间
[2，2.1]上的平均速度；
(2)
物体在时间区间[2，2.01]上的平均速度；
(3)
物体在t
=2时的瞬时速度.
瞬时速度
高台跳水
Δt
Δt
-0.1
-12.61
0.1
-13.59
-0.01
-13.051
0.01
-13.149
-0.001
-13.0951
0.001
-13.1049
-0.0001
-13.009951
0.0001
-13.10049
-0.00001
-13.099951
0.00001
-13.100049
高台跳水
导数的概念
导数的概念
也可记作
若这个极限不存在，则称在点x0
处不可导。
例:
高台跳水运动中，
秒
时运动员相
对于水面的高度是
（单位：
），求运动员在
时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在
呢?
同理，
运动员在 时的瞬时速度为
，
上升
下落
这说明运动员在 附近，正以大约
的速率
。
１．你能借助函数 的图象说说平均变化率
表示什么吗？请在函数
图象中画出来．
割线AB的的变化情况
２．在
的过程中，
请在函数图象中画出来．
你能描述一下吗？
3.1.1
导数的几何意义
圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以
用在点P处的切线近似代替
。
大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”
（以简单的对象刻画复杂的对象）
1.在函数
的
图像上，(1)用图形来体现导数
，
的几何意义.
(2)请描述，比较曲线分别在
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在
附近呢？
(2)请描述，比较曲线分别在
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在
附近呢？
增（减):
增（减）快慢：
=切线的斜率
附近：
瞬时
变化率
（正或负）
即：瞬时变化率（导数）
（数形结合，以直代曲）
画切线
即：导数
的绝多值的大小
=切线斜率的绝对值的
大小
切线的倾斜程度
（陡峭程度）
以简单对象刻画复杂的对象
(2)
曲线在
时，切线平行于x轴，曲线在
附近比较平坦，几乎没有升降．
曲线在
处切线
的斜率
0
在
附近，曲线
，函数在
附近单调
如图，切线
的倾斜程度大于切线 的
倾斜程度，
大于
上升
递增
上升
这说明曲线在
附近比在 附近
得迅速．
递减
下降
小于
下降
2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)
（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）
变化的函数图像，根据图像，估计
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中
药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格
的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率,
就是药物浓度
从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率.
函数f(t)在此时刻的导数,
（数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
抽象概括：
是确定的数
是 的函数
导函数 的概念：
t
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度的
瞬时变化率
小结：
１.函数
在
处的导数
的几何意义，就是函数
的图像在点
处的切线AD的斜率（数形结合）
＝切线
AD的斜率
3.导函数(简称导数)
2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学
思想方法。
以简单对象刻画复杂的对象变化率问题
课前预习学案
1、
预习目标
了解平均变化率的定义。
二、预习内容
[问题1]
在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_______________
[问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=
-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
在这段时间里，=_________________
在这段时间里，=_________________
在这段时间里，=_________________
[问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。
[问题4]
平均变化率表示什么?
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
知道平均变化率的定义。会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
二、学习过程
学习探究
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水，求平均速度
新知：平均变化率：
试试：设，是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即
=
或者=
，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为，即=
；如果它们的比值，则上式就表示为
，此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是
的增量与
的增量的比值.
典型例题
例1
过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
例2
已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]
有效训练
练1.
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2.
已知函数，，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率.
反思总结
1.函数的平均变化率是
2.求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）计算平均变化率
当堂检测
1.
在内的平均变化率为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
2.
设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（
）
A．
B．
C．
D．
3.
质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（
）
A．
B．
C．
D．
4.已知，从到的平均速度是_______
5.
在附近的平均变化率是____
6、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求
课后练习与提高
1、
已知一次函数在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
2.
国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.
下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
2.
水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t
s后容器
甲中水的体积（单位：），
计算第一个10s内V的平均变化率.
3.1.1变化率问题
教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义
教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程：
情景导入：
展示目标:
知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案
合作探究：
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=
-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：
例1
过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
例2
已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]
有效训练
练1.
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2.
已知函数，，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率.
反思总结
1.函数的平均变化率是
2.求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）计算平均变化率
当堂检测
1.
在内的平均变化率为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
2.
设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（
）
A．
B．
C．
D．
3.
质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（
）
A．
B．
C．
D．
4.已知，从到的平均速度是_______
5.
在附近的平均变化率是____
6、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求
【板书设计】：略
【作业布置】：略
h
t
o
A
△y
=f(x2)-f(x1)
△x=
x2-x1
f(x2)
B
f(x1)
f(x1)
f(x1)
f(x1)
f(x1)
f(x1)
x2
x1
T(月)
W(kg)
6
3
9
12
3.5
6.5
8.6
11
T(月)
W(kg)
6
3
9
12
3.5
6.5
8.6
11
PAGE
6(共56张PPT)
§3.1变化率与导数
3.1.1～3.1.2变化率问题 导数的概念
课本导学
教材导读
基础自测
思维聚焦
思维激活
432
B
O123456舜耕中学高一数学选修1—1教案
周次
上课时间
月
日周
课型
新授课
主备人
胡安涛
使用人
课题
3.1.1变化率问题
教学目标[]
1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
教学重点
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
教学难点
平均变化率的概念.
课前准备
多媒体课件
一、【创设情境】
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,
随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
2、求曲线的切线;
3、求已知函数的最大值与最小值;
4、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二、新课讲授
(一)问题提出
问题1
气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
分析:
(1)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(2)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考:
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2
高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算:
和的平均速度[]
在这段时间里,
在这段时间里,
探究:
计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程:
如图是函数的图像,
结合图形可知,,所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,[]
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子表示,
称为函数从到的平均变化率.
2.若设,
(这里看作是对于的一个“增量”可
用代替,同样)
则平均变化率为
思考:
观察函数的图象
平均变化率表示什么?
三、典例分析
例1
已知函数的图象上的一点及
临近一点则
.
解:
[][]
∴
例2
求在附近的平均变化率.
解:
所以
所以在附近的平均变化率为
课堂练习
1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为
.
2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.
3.过曲线上两点和作曲线的割线,
求出当时割线的斜率.
四、【课堂小结】
1.平均变化率的概念.
2.函数在某点处附近的平均变化率.
五、【书面作业】
六、【板书设计】
七、【教后记】
1.
2.
o
t
h人教新课标版（A）选修1-1
3.1
变化率与导数同步练习题
【基础演练】
题型一：变化率问题与导数概念
一般地，我们称为平均变化率，如果时，存在，称此极限值为函数在处的导数，记作，请根据以上知识解决以下1~5题。
1.
一质点运动的方程为，则在一段时间内相应的平均速度为
A.
B.
C.
D.
[]
2.
将半径为R的球加热，若球的半径增加△R，则球的体积增加△y约等于
A.
B.
C.
D.
3.
已知函数的图象上一点（1，2）及邻近一点，则等于
A.
2
B.
2x
C.
2+△x
D.
2+△
4.
自变量变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数
A.
在区间上的平均变化率
B.
在处的变化率
C.
在处的变化量[]
D.
在区间上的导数
5.若函数在处的导数为A，求。
题型二：导数的物理意义
在物体的运动规律中，如果，那么物体的瞬时速度；如果，那么物体的加速度，请根据以上知识解决以下6~7题。
6.
若一物体运动方程如下：
求物体在或时的速度。
7.
质点M按规律做直线运动，则质点的加速度a=___________。
题型三：导数的几何意义
导数的几何意义：函数在处的导数，即曲线在点P（）处切线的斜率为，相应的切线方程是，请根据以上知识解决以下8~9题。[]
8.
下面说法正确的是
A.
若不存在，则曲线在点（，）处没有切线
B.
若曲线在点（）处有切线，则必存在
C.
若不存在，则曲线在点（）处的切线斜率不存在
D.
若曲线在点（）处没有切线，则可能存在
9.
已知曲线C：。
（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程
（2）第（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
【互运探究】
［学科内综合］
10.
设，在处可导是在（a，b）内可导的
A.
充分非必要条件
B.
必要而非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件
11.
如图3-1-1表示物体运动的路程随时间变化的函数的图象，试根据图象，描述、比较曲线在、、附近的变化情况，并求出时的切线的方程。
［学科间综合］
12.
两工厂经过治理，污水的排放量（W）与时间（t）的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？
［新题型］
13.
柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状，如果开始加热后第x小时的沥青温度（单位：℃）为
[]
（1）求开始加热后15分钟和30分钟时沥青温度的瞬时变化率；
（2）求开始加热后第4小时和第6小时沥青温度的瞬时变化率。
【经典名题】
14.过点（-1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为
A.
B.
C.
D.
15.若曲线的一条切线l与直线垂直，则的方程为
A.
B.
C.
D.
参考答案：
1.
D
提示：∵，
∴。
2.
B
提示：∵，
∴
，
∵R是一个很小的量，
∴和（△R）非常小，
∴。
3.
C
4.
A
5.
解：∵，
∴（令替换），
∴
（当时，）
。
6.
解：当时，，
[]
，
∴。
当时，，[]
，
∴。
∴物体在和时的瞬时速度分别是6和0。
7.
4
提示：。
∴。[]
8.
C
9.
解：（1）将代入曲线C的方程，得，
∴切点的坐标为（1，1）。
∵
，
∴，
∴过点（1，1）的切线的方程为
，
即。
（2）由，得
整理得，
解得或。
从而获得切线与曲线的公共点为（1，1）和（-2，-8）。
说明切线与曲线C的公共点除去切点外，还有一个公共点（-2，-8）
提示：本例回答了一个问题：直线与曲线相切是否一定只有一个公共点。
10.
B
11.
解：用曲线在、、处的切线刻画曲线在、、附近的变化情况。
（1）当时，曲线在处的切线平行于x轴，所以在附近曲线比较平坦，几乎没有升降。
（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以在附近曲线下降，即函数在附近单调递减。
（3）当时，曲线在处的切线的斜率，所以在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减。由图象可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，说明曲线在附近比在附近下降得缓慢。
（4）当时，。
在是的切线的斜率
。
所以切线的方程为。
即。
提示：导数的几何意义是曲线的切线斜率，反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判定斜率的符号即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况（或函数的增减情况），同时可以根据几点处的切线倾斜程度的大小，判断曲线升降的快慢程度。
12.
解：在处，虽然，但，所以说，在单位时间里，企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一些。
13.
解：（1）∵时，
，
15分钟=0.25小时，
30分钟=0.5小时，
∴沥青温度在15分钟和30分钟时的瞬时变化率就是函数在处和处的导数和，
∵
，
∴，
∵同理可得
。
（2）当时，[]
，
当时，[]
，
∴，同理当时，，
∴。
提示：函数在某一点处的瞬时变化率就是在处的导数，物体在某一时刻处的瞬时的速度就是相应运动方程在处的导数。
14.
C
15.
A
[]
