舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版)
编号：
16
等级：
周次
上课时间
月
日周
课型
新授课
主备人
胡安涛
使用人
课题
3.1.2导数的概念
教学目标
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数.
教学重点
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.
教学难点
导数的概念.
课前准备
多媒体课件
一、【复习回顾】
二、【创设情境】
1、平均变化率
2、探究
计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程:
如图是函数的图像,
结合图形可知,,
所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
三、【新知探究】
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:[]
[]
思考:
当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？[]
结论:
当趋近于时,即无论从小于的一边,还是从大于的一边趋近于时,平均速度都趋近于一个确定的值.
从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便,我们用
表示“当,趋近于时,平均速度趋近于定值”
小结:
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
2.导数的概念
从函数在处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数,记作或
即
说明:
(1)导数即为函数在处的瞬时变化率;
(2),当时,,所以.
【例题精析】[]
例1
(1)求函数在处的导数.
(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
分析:
先求,再求,最后求.
解:
(1)法一
定义法(略)
法二
(2)
例2
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:
在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义
所以
同理可得:
在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,
说明在第附近,原油温度大约以的速率下降
在第附近,原油温度大约以的速率上升.
注:
一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.
课堂练习
1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.
2.求曲线在时的导数.
3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
四、【课堂小结】
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.
2.导数的概念.
五、【书面作业】
六、【板书设计】
[]
七、【教后记】
o
t
h导数的概念
课前预习学案
预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。怎样求瞬时变化率。
预习内容：
1：气球的体积V与半径之间的关系是，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.
2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：.
求在这段时间里，运动员的平均速度.
3：求2中当t=1时的瞬时速度。
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。
2.
会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
学习重难点：
1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用
二、学习过程
合作探究
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是
新知：
1．
瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究任务二：导数
问题2：
瞬时速度是平均速度当趋近于0时的
得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即
注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0
(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率
(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.
典型例题
例1
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
如果在第xh时，原油的温度（单位：）为.
计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.
例2
已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，
(1)当t=2，Δt=0.01时，求.
(2)当t=2，Δt=0.001时，求.
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度
小结：
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量；
第二步：求平均变化率；
第三步：取极限得导数.
有效训练
练1.
在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
练2.
一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在时的瞬时速度
反思总结：
这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v=
当堂检测
1.
一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（
）
Ａ．从时间到时，物体的平均速度；
Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为时物体的速度；
Ｄ．从时间到时物体的平均速度
2.
在
=1处的导数为（
）
A．2
B．2
C．
D．1
3.
在中，不可能（
）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．大于0或小于0
4.如果质点A按规律运动，则在时的瞬时速度为
5.
若，则等于
课后练习与提高
1.
高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度是：(单位:
m),求运动员在时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
2.
一质量为3kg的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s）的关系可用函数表示，并且物体的动能.
求物体开始运动后第5s时的动能.
3.1.2导数的概念教案
【教学目标】：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。
2.
会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
【教学重难点】：
教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用
教学难点：导数概念的理解
【教学过程】：
情境导入：
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度。这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t=1时的瞬时速度。
展示目标：略
检查预习：见学案
合作探究：
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是
新知：
瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究任务二：导数
问题2：
瞬时速度是平均速度当趋近于0时的
得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即
注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0
(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率
(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.
精讲精练：
例1
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
如果在第xh时，原油的温度（单位：）为.
计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
(1)当t=2，Δt=0.01时，求.
(2)当t=2，Δt=0.001时，求.
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度
有效训练：练1.
在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
练2.
一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在时的瞬时速度
反馈测评：见学案
板书设计：略
作业布置：略
PAGE
4(共18张PPT)
3.1.2《导数的几何意义》
先来复习导数的概念
瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数
f(x)在点x0处不可导.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式,
Δy也必须选择与之相对应的形式.
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.
斜率!
P
Q
割线
切线
T
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:先利用切线斜率
的定义求出切线的斜率,然后
利用点斜式求切线方程.
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)
是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
如何求函数y=f(x)的导数?
看一个例子:
下面把前面知识小结:
a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数
学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物
理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全
过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。
b.要切实掌握求导数的三个步骤：
（1）求函数的增
量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数。
小结:
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个
常数，不是变数。
c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”
之间的区别与联系。
d.求切线方程的步骤：
小结:
无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求
函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导
数概念。
P87
A组
4,5,6.(其中6题作在书上)
第二教材
P72
4,5,6
作业:(共29张PPT)
第三章
导数及其应用
3.1.2
导数的概念
自由落体运动中，物体在不同时刻的
速度是不一样的。
平均速度不一定能反映物体在某一时刻
的运动情况。
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
解：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则
△t1=3.1-3=0.1(s)
△s1=s(3.1)-s(3)=
0.5g×
3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
例1是计算了[3，3+△t]当t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。
上面是计算了△t>0时的情况
下面再来计算△t<0时的情况
解：设在[2.9，3]内的平均速度为v4，则
△t1=3-2.9=0.1(s)
△s1=s(3)-s(2.9)=
0.5g×32-0.5g×2.92
=0.295g(m)
设在[2.99，3]内的平均速度为v5，则
设在[2.999，3]内的平均速度为v6，则
当△t→0时，
物体的速度趋近于一个确定的值3g
△t>0
v
△t<0
v
0.1
3.05g
-0.1
2.95g
0.01
3.005g
-0.01
2.995g
0.001
3.0005g
-0.001
2.9995g
在
t=3s
这一时刻的瞬时速度等于
在
3s
到
(3+△t)s
这段时间内的平均速度
当△t→0的极限，
设物体的运动方程是
s=s(t),
物体在时刻
t
的瞬时速度为
v
,
一般结论
就是物体在
t
到
t+△t
这段时间内,
当△t→0
时平均速度的极限
，即
P
相切
相交
再来一次
例２、
P
再来一次
设曲线C是函数
y=f(x)
的图象，
在曲线C上取一点
P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x,y0+△y)
,
过P,Q两点作割线，
则直线PQ的斜率为
上面我们研究了切线的斜率问题,
可以将以上的过程概括如下：
当直线PQ转动时，Q逐渐向P靠近，
也即△x
变小
当△x→0时，PQ无限靠近PT
因此：
一般地，
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数
注意：
1、函数应在点的附近有定义，
否则导数不存在。
2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0
可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0
及其附近的函数值有关，与△x无关。
物体的运动方程
s=s(t)在t0处的导数
即在t0处的瞬时速度vt0
函数y=f(x)在x0处的导数
即曲线在x0处的切线斜率．
导数可以描述任何事物的瞬时变化率．
瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率
还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增
长率，经济学上讲的一切边际量
等．
例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15
(0?x
?8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意义。
解：第2h和第6h时，原油温度的
瞬进变化率就是f
'
(2)和f
'
(6)
根据导数定义：
同理可得
f
'(6)=5
f(x)=x2-7x+15
f
'(6)=5
说明在第6h附近，原油温度
大约以5
℃/h的速度上升；
说明在第2h附近，原油温度
大约以3
℃/h的速度下降；
所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数
(1)求函数的增量
练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动
(位移单位：m
,
时间单位：s).若质点在
t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。
a=2
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数
小
结:
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
的定义。
